学案65 二项式定理
导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
自主梳理
1．二项式定理的有关概念
n0n1n－11kn－kknn*
(1)二项式定理：(a＋b)＝Cna＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnb (n∈N)，这个公式叫做______________．
n①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．
③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式系数．
④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________________.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．
012n024偶1
(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝______，Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝________，Cn35奇
＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝________.
自我检测
52
1．(2011·福建)(1＋2x)的展开式中，x的系数等于( ) A．80 B．40 C．20 D．10
x－x6
2．(2011·陕西)(4－2)(x∈R)展开式中的常数项是( ) A．－20 B．－15 C．15 D．20
1064
3．(x－2y)的展开式中xy项的系数是( )
A．840 B．－840 C．210 D．－210
?2－1??6的展开式中的第四项是______． 4．(2010·四川)?3
x?a6
5．(2011·山东)若(x－2)展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
x??
?
?21?n6．(2011·烟台期末)已知n为正偶数，且?x－?的展开式中第4项的二项式系数最
2x??
大，则第4项的系数是__________．(用数字作答)
探究点一 二项展开式及通项公式的应用
?31?
?n的展开式中，第6项为常数项． 例1 已知在?x－
?3?
2x??
(1)求n；(2)求含x的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
1
2
420
变式迁移1 (2010·湖北)在(x＋3y)的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
探究点二 二项式系数的性质及其应用
123nn－1
例2 (1)求证：Cn＋2Cn＋3Cn＋?＋nCn＝n·2；
1227
(2)求S＝C27＋C27＋?＋C27除以9的余数．
242k2n变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C2n＋C2n＋?＋C2n＋?＋C2n的值．
探究点三 求系数最大项
322n例3 已知f(x)＝(x＋3x)展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
2
变式迁移3 (1)在(x＋y)的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于( ) A．13,14 B．14,15 C．12,13 D．11,12,13
?1?n(2)已知?＋2x?，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，
?2?
求展开式中二项式系数的最大项的系数；
(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx) (a，b∈R)的展开式中，第r＋1项的
rrn－rr二项式系数是Cn，而第r＋1项的系数为Cnab.
2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或
rn－rr系数．在运用公式时要注意：Cnab是第r＋1项，而不是第r项．
n01nn3．在(a＋b)的展开式中，令a＝b＝1，得Cn＋Cn＋?＋Cn＝2；令a＝1，b＝－1，得0123024135n－1
Cn－Cn＋Cn－Cn＋?＝0，∴Cn＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝2，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．
4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式
0n1n－12n－2rn－r系数相等，即Cn＝Cn，Cn＝Cn，Cn＝Cn，?，Cn＝Cn.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
n5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)≈1＋nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．
nn
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
?x＋1??24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有1．(2011·山东实验中学模拟)在?3??x??
( )
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
n56
2．(2011·重庆)(1＋3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x与x的系数相等，则n等于( )
3
A．6 C．8
B．7 D．9 ?x－1?
n3．(2011·黄山期末)在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开
??
x?
?
式中常数项是( )
A．－7 B．7
C．－28 D．28 ?3x－1?
?n的展开式中二项式系数之和为128，则展开4．(2010·烟台高三一模)如果?3
?
?
x2?
?
1
式中3的系数是( )
xA．7 B．－7 C．21 D．－21
56783
5．在(1－x)＋(1－x)＋(1－x)＋(1－x)的展开式中，含x的项的系数是( ) A．74 B．121 C．－74 D．－121 二、填空题(每小题4分，共12分)
11815
6．(2011·湖北)(x－)的展开式中含x的项的系数为__________．(结果用数值
3x表示)
1?6?7．(2011·济南高三模拟)已知a＝?π(sin t＋cos t)dt，则?x－?的展开式中的常
?0
?ax?
数项为________．
1?10?8.?1＋x＋2?的展开式中的常数项是________．
?x?
三、解答题(共38分)
4234
9．(12分)(1)设(3x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x. ①求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； ②求a0＋a2＋a4； ③求a1＋a2＋a3＋a4；
2n＋2*
(2)求证：3－8n－9能被64整除(n∈N)．
?1?n*
10．(12分)利用二项式定理证明对一切n∈N，都有2≤?1＋?<3.
?
n?
4
2?n?*
11．(14分)(2011·泰安模拟)已知?x－2? (n∈N)的展开式中第五项的系数与第三
?x?
项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
学案65 二项式定理
自主梳理
kkn－kk1．(1)二项式定理 ②n＋1 ③Cn 0,1,2，?，n ④Cnab Cakn－kknn32b 2.(1)等距离 (2)Cn Cn
n－1
n－1
n2n+12
Cn
n-12
(3)2 2 2 自我检测
5rrrrr222
1．B [(1＋2x)的第r＋1项为Tr＋1＝C5(2x)＝2C5x，令r＝2，得x的系数为2·C5＝40.]
rxr－x6－rr2．C [设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C6·(4)·(－2)，即Tr＋1＝C6·(－6－r2rxrx－6xr6－r3rx－6x241)·2·2＝C6·(－1)·2，∴3rx－6x＝0恒成立．∴r＝2，∴T3＝C6·(－1)＝15.∴选C.]
3．A
1604．－ x5．4 解析 (x－
rrax2
)展开式的通项为Tr＋1＝C6x6r6－r(－1)·(a)·xrr－2r＝C6xr6－3r(－
1)·(a).
22
令6－3r＝0，得r＝2.故C6(a)＝60，解得a＝4.
56．－ 2
5