课堂活动区
rn－rrn例1 解题导引 (1)通项Tr＋1＝Cnab是(a＋b)的展开式的第r＋1项，而不是第rr项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指Cn，r＝0,1,2，?，n，与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．
解 (1)通项公式为Tr＋1＝Cxrnn-r3?－1?rx-3 ?2???
r?1?r＝C?－?x?2?
rnn-2r3，
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有
n－2r3
＝0，
即n＝10.
n－2r11(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，
322
1?2452?∴所求的系数为C10?－?＝. ?2?410－2r??3∈Z，
(3)根据通项公式，由题意得?0≤r≤10，
??r∈N.令
10－2r＝k (k∈Z)，则10－2r＝3k， 3
3
即r＝5－k，∵r∈N，∴k应为偶数．
2
∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
1?225?1?58?1?8－22?C10?－?x，C10?－?，C10?－?x. ?2??2??2?变式迁移1 6
解析 展开式的通项Tr＋1＝C20·x＝C20·xr20－rr20－r4r·(3y)
·y·3.
rr4由0≤r≤20，∈Z得r＝0,4,8,12,16,20.
4
所以系数为有理数的项共有6项．
0nn＋1k例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如Cn＝Cn＝Cn＋1，Cn＝n－kkk－1
Cn，kCn＝nCn－1等式子的变形技巧；
(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f(x)、除式g(x)[g(x)≠0]、商式q(x)与余式的关系及余式的范围．
123n－1n(1)证明 方法一 设S＝Cn＋2Cn＋3Cn＋?＋(n－1)·Cn＋nCn，①
nn－1n－221
∴S＝nCn＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋?＋2Cn＋Cn
012n－2n－1
＝nCn＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋?＋2Cn＋Cn，②
012n－1nn①＋②得2S＝n(Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＋Cn)＝n·2.
n－1
∴S＝n·2.原式得证．
r 6
kkkn！
nnk！n－k！n－1！k－1
＝＝Cn－1， k－1！n－k！kk－1
∴kCn＝nCn－1.
01n－1
∴左边＝nCn－1＋nCn－1＋?＋nCn－1
01n－1n－1
＝n(Cn－1＋Cn－1＋?＋Cn－1)＝n·2＝右边．
122727
(2)解 S＝C27＋C27＋?＋C27＝2－1
方法二 ∵Cn＝·＝8－1＝(9－1)－1 091889
＝C9×9－C9×9＋?＋C9×9－C9－1
08178
＝9(C9×9－C9×9＋?＋C9)－2
08178
＝9(C9×9－C9×9＋?＋C9－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S被9除的余数为7.
2n0122332n2n变式迁移2 解 (1＋x)＝C2n＋C2nx＋C2nx＋C2nx＋?＋C2nx.
012n－12n2n令x＝1得C2n＋C2n＋?＋C2n＋C2n＝2；
012rr2n－12n再令x＝－1得C2n－C2n＋C2n－?＋(－1)C2n＋?－C2n＋C2n＝0.
0
两式相加，再用C2n＝1，
2n2242n2n－1
得C2n＋C2n＋?＋C2n＝－1＝2－1.
2
9
9
??例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项[第?＋1?项]?2?
n＋1?n＋1＋1?项]的二项式系数
的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项[第项与第??2?2?相等且最大；
n(2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，?，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用
??Ar≥Ar－1?
?Ar≥Ar＋1?
n
解出r来，即得系数最大的项．
解 (1)令x＝1，则二项式各项系数的和为
f(1)＝(1＋3)n＝4n，
n又展开式中各项的二项式系数之和为2.
nn由题意知，4－2＝992.
n2nnn∴(2)－2－992＝0，∴(2＋31)(2－32)＝0， nn∴2＝－31(舍)，或2＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
骣23xT3＝C琪琪桫骣23
x3T4＝C5琪琪桫25
3
(3x)＝90x， (3x)＝270x.
23
226
2
223(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C53·x．
rrr－1r－1?C53≥C5·3，?
假设Tr＋1项系数最大，则有?rrr＋1r＋1
?C3≥C·3，5?5
rr2(5+2r)3
7
??∴???5！5！
×3≥，
5－r！r！6－r！r－1！5！5！
≥×3.5－r！r！4－r！r＋1！
31≥??r6－r，∴?13
≥??5－rr＋1.
79
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. 22
变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；②若
T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13，所以n的值可能等于11,12,13，故选D.]
4652
(2)解 (ⅰ)∵Cn＋Cn＝2Cn，∴n－21n＋98＝0.
∵n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
353?1?43
∴T4的系数为C7??2＝，
2?2?
?1?34
T5的系数为C47??2＝70，
?2?
当n＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T8.
7?1?77
∴T8的系数为C14??2＝3 432.
?2?
0122
(ⅱ)∵Cn＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)． 设Tk＋1项的系数最大， ?1?12?1?1212
∵?＋2x?＝??(1＋4x)， ?2??2?
??C124≥C124，∴?kkk＋1k＋1
??C124≥C124.
kkk－1k－1
∴9.4≤k≤10.4.
∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11， ?1?410x10＝16 896x10. T11＝??12C1012
?2?课后练习区 1．C
n5555556666
2．B [(1＋3x)的展开式中x的项为Cn(3x)＝Cn3x，展开式中含x的项为Cn3x，由
5566
两项的系数相等得Cn·3＝Cn·3，解得n＝7.]
3．B 4.C 5.D 6．17
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝C18x15，解得r＝2.
152122
∴含x的项的系数为(－1)()C18＝17.
3
57．－ 28．4 351
1?10?1?10?解析 ?1＋x＋2?＝?1＋x＋2?
r18－r1rr18-(－)＝(－1)()C18x33xrr1
3r2.令18－
3r＝2
?x??x?
8
＝C10(1＋x)＋C10(1＋x)从第五项C10(1＋x)
1
2
2
4
34
6
01019
1
x281371461＋C(1＋x)＋C(1＋x)＋C(1＋x)1010102468＋?，
xxx1
8
x起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C10×C10，
00
C10×C9，C10×C8，C10×C7.
故原三项展开式中常数项为 00122436
C10C10＋C10C9＋C10C8＋C10C7＝4 351. 9．(1)解 ①令x＝1，
4
得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)＝16.(2分) ②令x＝－1得，
a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
4
而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)＝16， 两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.(4分)
4
③令x＝0得a0＝(0－1)＝1，
得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝16－1＝15.(6分)
2n＋222n(2)证明 ∵3－8n－9＝3·3－8n－9
nn＝9·9－8n－9＝9(8＋1)－8n－9
0n1n－1n－1n＝9(Cn8＋Cn8＋?＋Cn·8＋Cn·1)－8n－9 (8分)
n1n－1n－22
＝9(8＋Cn8＋?＋Cn8)＋9·8n＋9－8n－9
2n－21n－3n－2
＝9×8×(8＋Cn·8＋?＋Cn)＋64n
n－21n－3n－2
＝64[9(8＋Cn8＋?＋Cn)＋n]， 显然括号内是正整数，
∴原式能被64整除．(12分)
?1?n10．证明 因为?1＋?
6
?n?
1?21?31?nn－1?1?n－1?1????3n＝Cn＋Cn·＋Cn·??＋Cn·??＋?＋Cn·??＝1＋1＋·??＋·??n2！?n?3！?n??n??n??n??n－2?＋?＋1·?n－1??n－2???1?.(4分) ?n???????n！?n??n??n???
?1?n所以2≤?1＋?
?n?
0
1
1
2
111
<2＋＋＋?＋(6分)
2！3！n！111<2＋＋＋?＋ 1·22·3n－1n?1??11??1－1? ＝2＋?1－?＋?－?＋?＋???2??23??n－1n?1
＝3－<3，(9分)
n?1?n仅当n＝1时，?1＋?＝2；
?n??1?n当n≥2时，2
?n?
?1?n*
故对一切n∈N，都有2≤?1＋?<3.(12分)
?n?
11．解 由题意知，第五项系数为Cn·(－2)，第三项的系数为Cn·(－2)，则有44Cn·－210
， 22＝Cn·－21
9
4
4
2
2
化简得n－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)．(2分)
8
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)＝1.(4分)
?2?rr8－r(2)通项公式Tr＋1＝C8·(x)·?－2?
2
?x?
＝C8·(－2)·x32rr8-r28－r3
－2r，令－2r＝，则r＝1.
22
32故展开式中含x的项为T2＝－16x.(8分)
r－1r－1rr(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为C8·2，C8·2，Cr＋1·2r＋1
8，若第r＋1项的系数绝对值最大，
r－1r－1rr则???C8·2≤C8·2，??
Cr＋1r＋1rr 解得5≤r≤6.(12分) 8·2≤C8·2，
又T－11
6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x.
由n＝8知第5项二项式系数最大．
此时T－6
5＝1 120x.(14分)
10