第6讲 椭 圆
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
x22
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆3＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝43. 答案 43
x2y24
2．(2014·广州模拟)椭圆9＋＝1的离心率为5，则k的值为________．
4＋k解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k， 5－k4c419
由a＝5，即3＝5，解得k＝－25； 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5， k－54c4
由a＝5，即＝，解得k＝21.
4＋k519
答案 －25或21
x2y2
3．(2014·镇江模拟)已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则
10－mm－2m等于________．
y2x2
解析 将椭圆的方程转化为标准形式为2＋2＝1， ?m－2??10－m?显然m－2＞10－m，即m＞6，且(m－2)2－(10－m)2＝22，解得m＝8. 答案 8
4．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．
1
x2y24
解析 设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．由点(2，3)在椭圆上知a2＋3
b2＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， c1
即2a＝2·2c，a＝2，
又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6. x2y2
答案 8＋6＝1
x2y2
5．(2013·辽宁卷改编)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF4
＝5，则C的离心率为________．
82＋102－x2
解析 如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝＝2×8×104. 5
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对
称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所c5以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴a＝7. 5
答案 7
x2y2
6．(2014·无锡模拟)设椭圆m2＋n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点1
相同，离心率为2，则此椭圆的方程为________．
12
解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝2＝m，∴m＝4，代x2y2
入①得，n＝12，∴椭圆方程为16＋12＝1.
2
x2y2
答案 16＋12＝1
2
x2y2
7．已知F1，F2是椭圆C：P为椭圆C上的一点，
a2＋b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，→⊥PF→.若△PFF的面积为9，则b＝________. 且PF1212→⊥PF→， 解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF12∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2， ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
11∴S△PF1F2＝2|PF1|·|PF2|＝2×2b2＝b2＝9. ∴b＝3. 答案 3
x2y28．(2013·福建卷)椭圆Γ：a2＋b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析 因为直线y＝3(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°， 故|MF1|＝c，|MF2|＝3c
由点M在椭圆上知，c＋3c＝2a. c故离心率e＝a＝答案
3－1
2
＝3－1. 3＋1
二、解答题
9．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积． 解 (1)依题意得|F1F2|＝2， 又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.
3
x2y2
∴所求椭圆的方程为4＋3＝1. (2)设P点坐标为(x，y)， ∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan 120°， 即y＝－3(x＋1)． ?y＝－3?x＋1?，
?
解方程组?x2y2
＋＝1，??43
并注意到x＜0，y＞0，可得?
33y＝??5.13333
∴S△PF1F2＝2|F1F2|·5＝5. 8
??x＝－5，
x2y2
10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，?2?
F2(c,0)．已知点M?3，?在椭圆上，且点
2??M到两焦点距离之和为4. (1)求椭圆的方程；
(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭
→·→的取值范围．
圆于A，B(A，B不重合)，求OAOB解 (1)∵2a＝4，∴a＝2， ?2?
又M?3，?在椭圆上，
2??31
∴4＋2b2＝1，解得b2＝2， x2y2
∴所求椭圆方程4＋2＝1.
6
(2)由题意知kMO＝6，∴kAB＝－6.
4
设直线AB的方程为y＝－6x＋m， ?xy
?＋＝1，
联立方程组?42
??y＝－6x＋m，
2
2
消去y，得13x2－46mx＋2m2－4＝0， Δ＝(－46m)2－4×13×(2m2－4) ＝8(12m2－13m2＋26)＞0，
∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 26m±52－2m2由求根公式得x＝
132m2－446m
则x1＋x2＝13，x1x2＝13，
→·→＝xx＋yy 则OAOB1212＝7x1x2－6m(x1＋x2)＋m2 3m2－28?2850?＝13∈?－13，13?.
??
?2850?→→∴OA·OB的取值范围是?－，?.
?13
13?
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
x2y2
1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：4＋b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．
解析 由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时3??3?c29?
A?－c，2?，B?－c，－2?，代入椭圆方程得4＋4b2＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，????4－b29b29b29所以4＋4b2＝1，即1－4＋4b2＝1，所以4＝4b2，解得b2＝3，所以b＝3.
5