答案 3
x2y23a
2．设F1，F2是椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
解析 令c＝a2－b2.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°， ∴∠PF2x＝60°，
?3a?
∴|F2P|＝2?2－c?＝3a－2c.
??∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c， c3
∴3a＝4c，∴a＝4， 3
即椭圆的离心率为4. 3
答案 4
x2y2
3．(2014·陕西五校联考)椭圆a2＋5＝1(a为定值，且a＞5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析 设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立． 此时4a＝12，则a＝3.
x2y2
故椭圆方程为9＋5＝1，所以c＝2， c2
所以e＝a＝3. 2
答案 3 二、解答题
6
x2y2
4．(2014·河南省三市调研)已知圆G：x＋y－2x－2y＝0经过椭圆a2＋b2＝1(a
2
2
5＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角为6π的直线l交椭圆于C，D两点． (1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围． 解 (1)∵圆G：x2＋y2－2x－2y＝0经过点F，B， ∴F(2,0)，B(0，2)，∴c＝2，b＝2，
22xy
∴a2＝b2＋c2＝6，椭圆的方程为6＋2＝1.
3
(2)由题意知直线l的方程为y＝－3(x－m)，m＞6， x2y2??6＋2＝1，3y＝－??3?x－m?，
由?
消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0. 由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0， 解得－23＜m＜23. ∵m＞6，∴6＜m＜23. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 2m±12－m2x＝
2
m2－6
则x1＋x2＝m，x1x2＝2，
mm2????133
?－?x－m??＝x1x2－(x1＋x2)＋. ∴y1y2＝?－?x1－m??·
33?3??32?3
→＝(x－2，y)．FD→＝(x－2，y)，
∵FC1122
→·→＝(x－2)(x－2)＋yy＝4xx－m＋6(x＋x)＋m＋4＝2m?m－3?. ∴FCFD121212
312333→·→＜0，
∵点F在圆E内部，∴FCFD
2
7
即
2m?m－3?
＜0，解得0＜m＜3. 3
又6＜m＜23，∴6＜m＜3. 故m的取值范围是(6，3).
8