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第六章 三角恒等变形 第一节 同角三角函数的基本关系
A组
510，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等于________． 510
ππ3102
解析：∵α、β均为锐角，∴－<α－β<，∴cos(α－β)＝1－sin(α－β)＝.
2210
5525∵sinα＝，∴cosα＝ 1－()2＝.
555
2∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝. 2
πππ
∵0<β<，∴β＝.答案： 244π33
2．已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为________．
255
πππ344
解析：∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<π.∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，
222255
433424
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－)×＋(－)×＝－.答
555525
24
案：－
25
sin(α＋β)2
3．如果tanα、tanβ是方程x－3x－3＝0的两根，则＝________.
cos(α－β)
sin(α＋β)sinαcosβ＋cosαsinβ
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则＝
cos(α－β)cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ333＝＝＝－.答案：－ 1＋tanαtanβ1－322
π47π
4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－)＋sinα＝3，则sin(α＋)的值是___．
656
314134
解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝3，即cosα＋sinα＝，
225225
π47π44
得sin(α＋)＝，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－.答案：－
656655
ππ
5．(原创题)定义运算a?b＝a2－ab－b2，则sin?cos＝________.
1212
ππππππππ1ππ
解析：sin?cos＝sin2－sincos－cos2＝－(cos2－sin2)－×2sincos＝
121212121212121221212
1＋231＋23π1π
－cos－sin＝－.答案：－
62644
παα66．已知α∈(，π)，且sin＋cos＝.
2222
3π
(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈(，π)，求cosβ的值．
52
αα61
解：(1)因为sin＋cos＝，两边同时平方得sinα＝. 2222
π3又<α<π.所以cosα＝－. 22
πππππ
(2)因为<α<π，<β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<.
22222
34
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. 551．已知sinα＝
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cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
43＋33413
＝－×＋×(－)＝－. 252510
B组
cos2α1＋tanα·的值为________．
1＋sin2α1－tanα
22
cos2α1＋tanαcosα－sinα1＋tanα
解析：·＝ 2·1＋sin2α1－tanα(sinα＋cosα)1－tanαcosα－sinα1＋tanα1－tanα1＋tanα＝·＝·＝1. sinα＋cosα1－tanα1＋tanα1－tanα
sin2x－2sin2xπ3
2．已知cos(＋x)＝，则的值为________．
451－tanx
π33
解析：∵cos(＋x)＝，∴cosx－sinx＝2，
455
sin2x－2sin2x2sinx(cosx－sinx)1877
∴1－sin2x＝，sin2x＝，∴＝＝sin2x＝.
25251－tanxcosx－sinx25
cosx
ππ
3．已知cos(α＋)＝sin(α－)，则tanα＝________.
33πππ13π
解析：cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝cosα－sinα，sin(α－)
333223ππ13＝sinαcos－cosαsin＝sinα－cosα，
33221313由已知得：(＋)sinα＝(＋)cosα，tanα＝1.
2222π3πππ33π5
4．设α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(＋β)＝，则sin(α＋β)＝________.
44445413
π3ππππ3π4
解析：α∈(，)，α－∈(0，)，又cos(α－)＝，∴sin(α－)＝.
44424545π3π3π3π53π12
∵β∈(0，)，∴＋β∈(，π)．∵sin(＋β)＝，∴cos(＋β)＝－，
444413413
π3π
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－)＋(＋β)]
44
π3ππ3π3124556
＝－cos(α－)·cos(＋β)＋sin(α－)·sin(＋β)＝－×(－)＋×＝，
44445135136556
即sin(α＋β)＝.
6511π
5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于________．
332
π17
解析：∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝
239
42π221－cos22α＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝，
923
714222
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋×＝
9393
23. 27
π
1＋2cos(2α－)34
6．已知角α在第一象限，且cosα＝，则＝________.
5π
sin(α＋)21.
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π
1＋2cos(2α－)344
解析：∵α在第一象限，且cosα＝，∴sinα＝，则＝
55π
sin(α＋)2
221＋2(cos2α＋sin2α)
2cos2α＋2sinαcosα224314＝＝2(sinα＋cosα)＝2(＋)＝. cosαcosα555
π2π
7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，则tan(α＋)的值为________．
254
23
解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，又
55
π43πtanα＋11α∈(，π)，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝. 25441－tanα7
tan10°tan70°
8.的值为______． tan70°－tan10°＋tan120°
tan70°－tan10°
解析：由tan(70°－10°)＝＝3，
1＋tan70°·tan10°故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
tan70°tan10°tan70°tan10°tan70°tan10°3＝＝＝. 3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°3(1＋tan70°tan10°)－33tan70°tan10°3
π
sin(α＋)
4
9．已知角α的终边经过点A(－1，15)，则的值等于________．
sin2α＋cos2α＋1
π
sin(α＋)142
解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－，∴＝＝－2. 4sin2α＋cos2α＋14cosα
cos20°
10．求值：·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.
sin20°
cos20°cos10°3sin10°sin70°
解：原式＝＋－2cos40°
sin20°cos70°
cos20°cos10°＋3sin10°cos20°＝－2cos40°
sin20°
cos20°(cos10°＋3sin10°)＝－2cos40°
sin20°
2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)＝－2cos40°
sin20°
2cos20°sin40°－2sin20°cos40°＝＝2.
sin20°
xx
11．已知向量m＝(2cos，1)，n＝(sin，1)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1.
223
＝，求f(C)的值． 5
5
(1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝，f(B)
13xxxx
解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cos，1)·(sin，1)－1＝2cossin＋1－1＝sinx.
2222∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[－1,1]．
5353
(2)∵f(A)＝，f(B)＝，∴sinA＝，sinB＝. 135135
124
∵A，B都为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝，cosB＝1－sin2B＝. 135
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∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB 541235656＝×＋×＝.∴f(C)的值为. 1351356565
ππ14
12．(2010年南京调研)已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
2435π
(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋)的值．
4
πππ221
解：(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，
444223
227
∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
399ππ7
法二：sin2β＝cos(－2β)＝2cos2(β－)－1＝－.
249
πππ3ππ3ππ
(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
2444224π14π223
∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
435435ππππ
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
44443142282－3＝－×＋×＝. 535315
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