当用一束平面波照射这张波带片时，其透射波前函数为
其中，
运用波前相因子分析法，可以对以上三种波成分的类型和持征作出明确的判断：波前U0代表一列正出射的平面衍射波，称其为0级衍射波；波前U?1代表一列正出射的发散球面波，发散中心在轴上Q?1点，与波带片P离为Z0，称其为十1级衍射波；波前U?1代表一列正出射的会聚球面波，会聚中心在轴上Q?1点，与波带片距离为Z0，称其为一1级衍射波，如同所示．
~~~
这表明余弦型环状波带片的衍射场其主要成分有一个，其中、0级平面衍射波是照明波的直接透射波，而土级发散或会聚球面衍射波的出现，说明这波带片同时起一个发散透镜和一个会聚透镜的作用，虽然这场合并无实物透镜，仅有一张薄薄的波带片．追溯其源，在于制备时那傍轴球面波提供的二次相因子
这使我们又一次见识到，先一步的波前相因子，可以转化为后一步衍射场合中的光学元件．这一点正是现代波前光学中，全息光学元件的基本设计思想．
当然，考虑到波带片孔径有限，上述这三种波前受到窗函数的限制，以致聚散中心并不 是一个理想的点．但是运用相因子分析法，毕竟使人们掌提了余弦型环状波带片其衍射场 的主要持征．
鉴广余弦型环状波带片的衍射具有上述简单而鲜明的特征，以致以r2为宗量的屏函数
~简谐成分(*****)式，可以作为一切轴对称屏函数t(r)的基圆成分．
5.4 余弦光栅的衍射场
◆余弦光栅的屏函数和制备
余弦光栅的透过率函数即其屏函数的典型表示式为
这是一个特殊走向的余弦光栅，仅沿x轴方向呈现周期性，空间周期为d,d?1f，f为空间频率(mm)，如图(a)所示．任意取向的余弦光栅，如图 (b)所示，
-1
其屏函数的一般表达式为
它表明，该光栅沿两个正交方向(x,y)的空间频率为(fx,fy)，相应的空间周期为(dx,dy)＝1fx,1fy。不难由(fx,fy)导出直观上余弦光栅的若干几何特征：
值得注意的是，二维平面上的空间频率(fx,fy)含有正负号．比如图***(b)显示的这张光栅．fx,fy异号，tan??0。表明与栅条正交的方向N沿二、四象限；若fx,fy同号，则
tan??0，这对应的是与栅条正交的方向N沿一、三象限．以上关于tan?公式可以由等
值点方程2? fxx?2? fyy?C (常数)导出
可以看到，余弦光栅屏函数形式与双光束干涉场的光强分布函数相似。实际上，制备一块余弦光栅首先用一张乳胶干版H记录两束平行光的干涉场，如图所示，其干涉强度分布函数为
然后，将这张曝光的干版在暗室中作化学处理即显影定影，要求满足线性条件，以获得冲洗后干版底片的透过率函数，
写成
其中，??0，表示负片，表示正片；参数?俗称“雾底”，它表示即使曝光强度I?0??0，处，冲洗出来的底片在该处仍有一定程度的透过率．制成的这张光栅是否具有以上余弦型函数标准形式，这可通过“光密度计”予以鉴测。光栅制作过程中的关键环节是“线性冲洗”这一步．它与拍摄时的曝光强度、冲洗时的药液配方、时间、温度，以及记录介质的乳胶特性等诸多因素有关，深究起来乃系感光材料与光化学专业的问题。
◆余弦光栅的衍射特征
如图所示，让一束波长为?的平行光照射这余弦光栅，而在透镜后焦面上接收衍射场．实验上显示出三个鲜明的衍射斑．我们知道，透镜后焦面上的一点，对应物空间的一个方向．目前，后焦面上三个衍射斑的出现，表明通过余弦光栅其后场存在三列平面衍射波．兹运用波前相因子分析法，对此作出理论说明如下．
平面波正入射，其入射波前为U1?A1，经余弦光栅后的透射波前为
即
其中
~
鉴于它们均具有线性因子，故可以判定它们各自均代表一列平面波。波前U0代表一列正出 射的平面衍射波，称其为0级波；波前U?1代表一列向上斜出射衍射波，称其为+1级波，其倾角??1，满足sin??1?f?。波前U?1代表一列向下斜出射衍射波，称其为-1级波，其倾角??1，满足sin??1??f?。这三列平面衍射波交叠十后场而形成一个较为复杂的波场，可是经透镜分离它即凝聚于三个鲜明的衍射斑。这三个衍射斑集中了余弦光栅这一物结构的所有持征．其中，最至要的一个联系是，土1级衍射波(斑)的角方位与余弦光栅的空间频率一一对应，
考虑到实际光栅的宽度D有限，这透射的三列平面衍射波的波前是受限的，故它们均 有一定的发散角，反映在后焦面那三个衍射斑均有一个半角宽度，分别为
~~~
如果余弦光栅取向任意，以空间频率(fx,fy)标定之，其产生的那一对斜出射的土1级平面衍射波的角方位（sin?1,sin?2），与(fx,fy)的对应关系为
最后说明一点，余弦光栅屏函数中的那个原(点)相位?0，其数值是要反映到?1级衍射级中的。余弦光栅的平移，将导致衍射班的相移，即?0有不同的取值．不过，这一点目前并不重要，以后在研究空间滤波和光信息处理时，将要注意到?0值的影响．
◆余弦光栅的组合
利用上面的对应关系表，可以十分简捷地分析出，由几个不同频率或不同取向的余弦信 息的组合所产生的衍射场．
(1)平行密接． 如图所示，两张余弦光栅G1和G2，其栅纹平行地叠在一起．
它们的屏函数分别为
则其组合光栅G1?G2的屏函数为
t12(x)?t01t02?t01t2cos2?f2x?t02t1cos2?f1x?t1t2cos2?f1xcos2?f2x ?t01t02?t01t2cos2?f2x?t02t1cos2?f1x?12t1t2cos2?(f1?f2)x?12t1t2cos2?(f1?f2)x由此可见，它含4个余弦光栅。再加1个直流成分．故其衍射场共含9列平面衍射波，在后焦面上将出现9个衍射班，分布于x?轴上，如图所示。其方向角分别为
定性上看．入射的平面波经光栅G1衍射，生成3列平面衍射波，其中每列波再经G2衍射又生成3列平面衍射波。这样一来，在G1?G2后场就交叠着9列平面波。
(2)正交密接． 如图所示，两张余弦光栅G1和G2叠在一起，其栅纹正交．G1和G2的屏函数分别为
则其组合光栅G1?G2的屏函数及屏函数个各项对应的衍射班为
这时共产生9个衍射班，其中4个斑在轴上，4个斑在轴外，还有1个斑在原点，它们方向角(sin?1,sin?2)的数值由(sin?1,sin?2)??(?fx,?fy)式确定。