(3)复合光栅． 一光栅其屏函数含两种频率成分，
这复合栅的衍射场含5列平面衍射波，显示于后焦面上是5个离散的衍射斑．基濒f1成分产生的那一对斑的方向角为??1，三倍频f2成分产生的那一对班的方向角为??2，它们由下式决定，
这类复合光栅，理论上来自周期屏函数的傅里叫级数展开，其中每个傅里叶成分便是一个余弦光栅；实验上可采取“二次曝光”程序以获得一张复合光栅，比如，在图6．11示意的装置中，先曝光一次，记录下某一频率的干涉条纹，然后变动反射镜倾角，再曝光一次，又在底片上记录下另一频率的干涉条纹．这种情形下，总曝光强度是两者之和，经线性冲洗后的透过率函数就包含了两种频率成分。运用这种实验方法可以获得两个相近的频率成分，即差额?f?f2?f1??f1,f2)．比如，f1为50／mm，f2为52／mm．这种显示出空间拍频的复合光栅，可用作空间滤波器．以实现图像微分运算．
5.5 傅里叶光学与傅里叶变换
◆傅里叶光学的基本思想
数学上可以将一个复杂的周期函数作傅里叶级数展开，这一点在光学中体现为，一个复杂的图像可以被分解为一系列单频信息的合成，简言之，一个复杂的图像可以被看作一系列不同频率、不同取向的余弦光栅之和．如果事情仅限于此，那图像的傅里叶分解只停留在纯数学的纸面上．为了将这种博里叶分解在物理上付诸实现，必须找到相应的物理途径——物理效应、物理元件或物理装置．
上一节余弦光栅的衍射待征已经表明，当单色光入射于二维图像上，通过夫琅禾费衍射，使一定空间频率的光学信息由一对待定方向的平面衍射波传输出来；这些衍射波在近场区域彼此交织，到了远场区域彼此分离，从而达到分频的目的．常见的远场分频装置是利用透镜，将不同方向的平面衍射波会聚于后焦面的不同位置上，形成—个个衍射斑；衍射斑位置与图像空间频率一一对应，且集中了这一频率成分所有光学信息．
总之，在一夫琅禾费衍射系统中，输入图像的博里叶频谱直观地显示在透镜的后焦面上．换言之，这后焦面就是输入图像的傅里叶频谱面，简称傅氏面，因而那些夫琅禾费衍射斑，也常被称作谱斑，如图所示。从这个意义上看，夫琅禾费衍射装置就是一个图像的空间频谱分析器．这就是现代光学对经典光学中夫琅禾费衍射的一个重新评价——夫琅禾费衍射实现了屏函数的傅里叶变换．这种新认识或新联系，给光学和数学这两方面都带来了新进展；它为夫琅禾费衍射场的分析，提供了一种强有力的傅里叶数学手段，同时开创了光学空间滤
波与光学信息处理这一新技术．
综上所述，振兴于20世纪60年代的傅里叶光学，其基本思想和基本内容，可以概括为两条：对图像产生的复杂波前的傅里叶分析，这意味着将其复杂的衍射场分解为一系列不同方向、不同振幅的平面衍射波，故傅里叶光学就是一种平面波衍射理论；再者，特定方向的平面衍射波，作为一种载波，携带着特定空间频率的光学信息，并将其集中于夫琅禾费衍射场的相应位置．实现了分频，从而为选颇即空间滤波开辟了可行的技术途径，故傅里叶光学也是一种关于空间滤波和光学信息处理技术的理论基础．
◆透镜的傅里叶变换特性
透镜是光学系统最基本的元件，正是由于透镜在一定条件下能实现傅里叶变换，才使得傅里叶分析方法在光学中得到如此广泛的应用．前面我们已经看到，单位振幅平面波垂直照明衍射屏的夫琅禾费衍射，恰好是衍射屏透过率函数t(x0,y0)的傅里叶变换(除一相位因子外)。
下面就衍射屏(物)放在透镜之前的情况进行讨论．
Ul(x,y)'
用单位振幅单色平面波垂直照明衍射屏，四个平面的复振幅关系为（四路） ①U0(x0,y0)?At(x0,y0)
②U0(x0,y0)通过菲涅尔衍射?Ul(x,y) ③Ul(x,y)通过透镜的二次相位变换?Ul?(x,y)
④Ul?(x,y)通过菲涅尔衍射?Uf(xf,yf)
通过冗长的计算得Uf(xf,yf)与t(x0,y0)的关系为 Uf(xf,yf)?C1exp(?ik1??2f(xf?yf)??t(x0,y0)exp[?i22kf?(xfx0?yfy0)]dx0dy0
这本身就是t(x0,y0)的复里叶变换与一个二阶相位因子的乘积，其中：??f/d.0。 当d.0?f时
Uf(xf,yf)?C1??t(x0,y0)exp[?i(?x0??y0)]dx0dy0
其中：??kxf/f,??kyf/f。二阶相位因子消失，只剩一个严格的复里叶变换。 这就是说夫朗和费衍射可以实现物的傅里叶变换，这为物信息的处理提供了巨大的方便。
◆透镜的成像特性