方向如图所示
m2
则合力大小为FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝23G2
a(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 mAmB2m2
FAB＝G2＝G2
ramCmBm2
FCB＝G2＝G2
ra方向如图
由余弦定理得合力FB＝
2FAB＋F2FCB·cos120°＝CB－2FAB·
m2
7G2 a
(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m
通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点 则RC＝
?3a?2＋?1a?2＝7a ?4??2?4
a3 Gm
m22π
(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7G2＝m()2RC，可得T＝πaT
考题一 万有引力定律的理解
M
1．C [令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的的万有引力大小相等，有：g＝G2.R4G·ρπR3
34GM4
由于地球的质量：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝2＝＝πGρR.23RR3质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号所在处的重力加速度g′R－d4Mm
g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”
3gR?R＋h?2g′?R－d??R＋h?2GMaR2
的加速度为a＝，所以＝所以＝.]
g?R＋h?2aR3?R＋h?22．C [平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，
1
即h＝gt2，所以x＝v0
2
g行x22h地7
，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以＝2＝，gg地x行4
M行g地
·＝2，解得R行＝2R，故C正确．] M地g行
R行MmGM
根据公式G2＝mg可得R2＝，故＝RgR地
GM
3．A [设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝2.
R44πGRρ
由于地球的质量为M＝πR3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g＝. 33
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，故在深度为(R－r)的地球内4πGρ
部，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，g′＝r，当
3r
考题二 天体质量和密度的估算
ll
4．C [l＝Rθ则R＝；v＝ θt
vGMml3
“嫦娥三号”绕着月球做匀速圆周运动，F＝2＝m.代入v与R，解之可得M＝2] RRGθtNGM
5．B [用弹簧秤称量一个质量为m的砝码读数为N，g＝＝2，登陆舱在该行星表面做圆
mrGMm2π2GM2π2NT2N3T4
周运动的周期T，2＝mr()，2＝r()，解以上二式得，r＝，M＝43；行
rTrT4mπ216πGmMM3π
星的密度ρ＝＝＝2；该行星的第一宇宙速度为v＝
V43GT
πr3Mm
6．B [在地球表面，重力等于万有引力，故：mg＝G2
RgR2GgR2M3g
解得：M＝.故密度：ρ＝＝＝ GV434πGR
πR33g0同理，月球的密度：ρ0＝ 4πGR0
ρgR013
故地球和月球的密度之比：＝＝6×＝.] ρ0g0R42
GMNT
＝.] r2πm
2
考题三 卫星运行参量的分析
M
7．AC [由题图可知两行星半径相同，则体积相同，由a＝G2可知P1质量大于P2，则P1
r平均密度大于P2，故A正确；第一宇宙速度v＝GM，所以P1的“第一宇宙速度”大于R
GM
P2，故B错误；卫星的向心加速度为a＝，所以s1的向心加速度大于s2，故C正确；
?R＋h?2GMm4π2由＝m2(R＋h)得T＝
T?R＋h?24π2?R＋h?3，故s1的公转周期比s2的小，故D错误．] GM
R313＝R2
R3T18．B [设彗星的周期为T1，地球的公转周期为T2，由开普勒第三定律2＝k得：＝
TT2
240＋1986
183≈76，可知哈雷彗星的周期大约为76年，≈29.所以最合理的次数是30次．故
76B正确，A、C、D错误．] 3gR2t214
9．(1)g (2) －R
936π22
GMm0解析 (1)在地球表面，万有引力与重力相等，2＝m0g
RGM′m04对火星2＝m0g′ 联立解得g′＝g 9R′
(2)火星的同步卫星做匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同．设卫星离火星表面的高度为h，则 3gR2t21GM′m02π2
＝m0()(R′＋h) 解得：h＝－R
t36π22?R′＋h?2
考题四 卫星变轨与对接
10．A [人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、GMmmv
轨道半径为r、地球质量为M，有：2＝＝ma，解得：v＝
rr
2
GM.卫星在轨道上运行时，r
轨道的半长轴越大，需要的能量越大，由于轨道2半长轴比轨道1半径大，因此该卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P处点火加速，故A正确；该卫星在轨道2上稳定运行时，根据开普勒第二定律可知，近地点P点的速度大于远地点Q点的速度，故B错误；根据牛顿第二定GMmmvGM
律和万有引力定律2＝＝ma得：a＝2，所以卫星在轨道2上经过Q点的加速度等
rrr于在轨道3上经过Q点的加速度，故C错误；卫星在轨道上运行时，轨道的半长轴越大，需要的能量越大，由于轨道3半径比轨道1半径大，所以该卫星在轨道3的机械能大于在轨道1的机械能．故D错误．]
11．B [根据开普勒第二定律知探测器与水星的连线在相等时间内扫过的面积相同，则知A点速率大于B点速率，故A错误；在圆轨道A点实施变轨成椭圆轨道是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必须万有引力小于飞船所需向心力，所以应给飞船加速，故A点在轨道
2
Ⅱ上的速度大于在轨道Ⅰ上的速度
GM
，在轨道Ⅱ远地点速度最小为rAGM
，故探测器在rB
GM
，故B正确；探rA
轨道Ⅱ上某点的速率在这两数值之间，故可能等于在轨道Ⅰ上的速率
测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，引力势能增加，动能减小，故C错误；探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上A点所受的万有引力相同，根据F＝ma知加速度大小相同，故D错误．]
考题五 双星与多星问题
12．D [两恒星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有G
m1m22π2
)，2＝m1r1(LT
23
m1m22π224πLG2＝m2r2()，又L＝r1＋r2，M＝m1＋m2，联立以上各式可得T＝，故当两恒星总LTGM
质量变为kM，两星间距变为nL时，圆周运动的周期T′变为n3T.] k
13．C [三星中其中两颗对另外一颗星的万有引力的合力来提供向心力，由于是等边三角形，m2L所以每个角都是60°，根据万有引力提供向心力G2×2cos30°＝mω2r，其中r＝，得出ω
L3＝
3Gmm23Gm
所以A项错误；根据G2×2cos30°＝man，得出向心加速度的表达式an＝2，3，LLL
m24π2
圆周运动的加速度与三星的质量有关，所以B项错误；根据G2×2cos30°＝m2r，解出周
LT期的表达式T＝4π2L3，距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，周期为T′＝3Gm
Gm，若距离L和每L
v24π3?2L?3m2
＝2T，所以C项正确；根据G2×2cos30°＝m得出v＝
Lr3G?2m?
颗星的质量m都变为原来的2倍，线速度不变，所以D项错误．]
专题综合练
4π2
1．D [因空间站建在拉格朗日点，故其周期等于月球的周期，根据a＝2r可知，a2>a1，
TGM
对空间站和地球的同步卫星而言，由于同步卫星的轨道半径较空间站的小，根据a＝2可知
ra3>a2，故选项D正确．]
Mm4π24π2r3
2．AD [根据万有引力提供向心力有：G2＝m2r，得地球的质量为：M＝2，故A正
rTGT确．根据题目条件无法求出地球的半径，故也无法求得地球的密度，故B、C错误．根据v＝
2πr
，则可求得月球绕地球运行速度的大小，故D正确．故选A、D.] T
gR
，选2
v2Mm0Mm
3．A [对地面上的物体有：G2＝m0g；对卫星G＝m，联立解得：v＝
R2R?2R?2
v
项A正确；卫星的角速度为ω＝＝2RC错误；卫星的周期为T＝
2π
＝4πω
gg
，选项B错误；卫星的加速度为a＝ωv＝，选项8R4
2R
，选项D错误．] g
4．A [因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a1＝a1R1ω2R1，a2＝ω2R2可得：＝，故A正确，B错误；对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运
a2R2动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到： v2v2MmMm12
G2＝m，G2＝m R1R1R2R2v1解得：＝v2
R2，故C、D错误．] R1
5．D [因为两极处的万有引力等于物体的重力， 故：GP＝
GMm
R2由于赤道处的向心力等于万有引力与物体在赤道处的重力之差， GMmGMm4π2
故：2－0.92＝m2R
RRT40π2R3
解得：M＝
GT2M30π
则星球的密度ρ＝.] 3＝4πRGT23
GMm4π2
6．AD [火星绕太阳在圆轨道上运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：2＝m2r，
rT4π2r3
得：M＝2，故A正确；由于不知道彗星的质量，所以无法求解彗星经过A点时受到的引
GT力，故B错误；彗星经过A点做离心运动，万有引力小于向心力，不能根据v＝
GM求解r
彗星经过A点的速度大小，该彗星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力，轨道发生弯曲，彗星与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”，所以可确定彗星在A点的速度大于火星绕太阳的速度，故C错误，D正确．]
7．ACD [“嫦娥三号”在地表的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，A项正确；椭圆轨道的轨道半长轴和近月圆轨道的轨道半径不相等，因此周期不相同，B项错误；从近gR2
月圆轨道需要点火减速才能进入椭圆轨道，C项正确；月球质量M＝，除以体积得到月球
G3g12h
密度ρ＝，根据自由落体运动下落高度为h，运动时间为t，有h＝gt2得到g＝2代入
4πGR2t上述密度表达式中，ρ＝
3h
，D项正确．] 2πGRt2