§1.3 正弦型函数
在工程技术中，常借助正弦型函数来解决实际问题． 一般地，形如
y?Asin??x???，?x?R?
的函数(其中A?0，??0，?都是常数)，叫做正弦型函数，其图象叫做正弦型曲线.其中A叫做振幅，?叫做角速度. T=2??是函数的周期.显然，y=Asin(?x+?)的最大值是A，最
小值是-A.，其图象与正弦曲线很相似.
当A?1，??1，??0时，正弦型函数y?Asin??x???就是正弦函数y?sinx．
探究 根据所给的图象回答下列问题：
(1)指出图1-2中正弦函数的最大值、最小值、周期及其函数表达式．
(2)将图1-3、1-4、1-5中的图象分别与图1-2作比较，指出它们最大值、最小值、周期的异同．
y 1 ? O -1 1 ? O -1 y ? ? ?4y 2 ? ? 2? y=2sinx 3? 2y=sinx ? ? 3? 21 ? 2? x
? O -1 -2 ? 2? ? ? 2? x ? 图1-2
图1-3 y ? y=sin2x ? ? 3? ? 4? 图1-4
3? 21 ? x
2? ?y=sin(x+? ?) 23? 2? 22? O -1 ? 2? ? ? x 图1-5
例1 已知正弦型函数y?2sin?5x?期、最大值和最小值．
?????，求该正弦型函数的振幅、角频率、初相位、周3?解 振幅A?2，角频率??5，初相位??为?2．
?3，周期T?2???2?，最大值为2，最小值5 9
问题解决 当x取何值时，正弦型函数y?2sin?5x??????的值为最大值、最小值？ 3?数学应用 工业与民用电常用的是正弦交流电，其电压u(单位:V)与时间t(单位:s)之间的函数关系为u?2202sin100?t.试求交流电的周期、频率、电压的最大值、有效值.
练习
1．举出生活中随时间作周期性变化的例子．
2．求下列函数的振幅、周期、角频率、初相位、最大值、最小值． (1)y?3sin?4x?????6??；(2)y?1?1??sin?x??． 2?35?1x取得最大值、最小值？ 33．当x取何值时，正弦型函数y?5sin
与正弦函数类似，我们也可以应用五点法作正弦型函数在一个周期内的简图． (1)正弦型函数y?Asinx(A?0)的图象
例2 用五点法作正弦型函数y?3sinx在一个周期内的简图． 解 正弦型函数y?3sinx的周期T?2?。 （1）列表：
x sinx 0 0 0 ? 21 3 ? 0 0 3? 2?1 2? 0 0 y?3sinx
（2）描点、连线（如图1-6）。
?3 y321Oy=sinx?2y=3sinx?3?22?x-1-2x图象上点的纵坐标等于y?sinx图从图1-6中看出，对应于每一个x的值，y?3sin象上点的纵坐标的3倍.因此，y?3sinx的图象可以看做把y?sinx的图象(图1-6中虚线部分)上所有点的纵坐标伸长3倍而得到.
图4-8图1-6 -3一般地，函数y?Asinx(A?0)的图象可以看做把y?sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当A＜1时）到原来的A倍而得到.函数y?Asinx(A?0)的值
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域是[?A,A].
用正弦型函数y?Asinx(A?0)表示交流电的电流时，A就表示这个交流电电流的最大值.
（2）正弦型函数y?sin?x(??0的图象
例3 用五点法作正弦型函数y?sin2x在一个周期内的简图． 解 正弦型函数y?sin2x的周期T??。 （1）列表：
2x 0 0 x y?sin2x ? 2? 4? ? 20 3? 23? 4?1 2? ? 0 5?7? 3? 4? 225?3?7? 2? 4241 0 0 1 ?1 0 （2）描点、连线（如图1-7）。
yy=sin2x 13? 2 ??O? 42-1 图图1-7 4-9y=sinx2?3?4?x11沿x轴的方向向原点压缩到原来的而得到，其实质是周期减少到原来的.
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从图1-7中看出， y?sin2x的图像可以看做把y?sinx的图象(图1-7中虚线部分)
11保持不变，把横坐标沿x轴的方向向原点压缩到原来的而得到，周期也变为原来的，2???一般地，函数y?sin?x(??0)的图象可以看做是y?sinx图象上所有点的纵坐标即
?.
问题解决 你能由正弦函数y?sinx的图象，通过振幅变换、周期变换的方法作出正弦型函数y?2sin3x的图象吗？
练习
用五点法画出下列函数在一个周期内的草图. (1)y?3?xsinx；(2)y?sin. 2311
（3）正弦型函数y?sin?x???的图象
例4 用“五点法”作正弦型函数y?sin?x???在一个周期内的简图． 解 正弦型函数y?sin(x?（1）列表： ?3)的周期T?2?。
x??3 x y?sin(x?24?5??? ? ? 633?? ?? 0 ? 2? 61 ? 2? 30 3? 27? 6?1 2? 5? 30 ?3) 0 ?1 0 （2）描点、连线（如图1-8）。
y5??-?-6-2-?3
4?-31O-1?63?2?237?3?5?623?x2??. 3从图1-8中看出，y?sin(x??图图4-101-8 )的图象相当于y?sinx的图象向左平行移动了一般地，函数y?sin?x???的图象，可以把y?sinx图象上所有的点向左(??0)或向右(??0)平行移动?个单位而得到.
问题解决
用函数y?sinx图象的振幅变换、周期变换和原点平移的方法作正弦型函数
y?2sin(3x?)的图象.
5
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?练习
1．用五点法画出下列函数在一个周期内的草图. (1)y?sin(x??)；(2)y?3sin(2x?). 33?2．如图所示为某正弦型函数的图象，写出其函数表达式.
y 6
x
O ? 5? 2? 11? 7? 1266123
-6
（第2题）
例5 正弦交流电e?3802sin314t?210??V，u?2202sin314tV，
i??4sin?314t?120?A，试求：(1)e与u的相位关系；(2)u与i的相位关系；(3)e与i的相位关系.
解 (1)e?3802sin(314t?210?)?3802sin(314t?150?)V，
相位差??eu??e??u??150?0??150， 故e滞后u150°．
t?60?)A (2)i?4sin(314 相位差??ui??u??i?0??60 故u超前i 60°．
(3)相位差??ei??e??i??150??60 故e滞后i90°.
例6 如图1-9所
???60
???90
?示，试写出正弦交流
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