实验五 循环卷积与线性卷积的实现
一、实验目的
（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。
二、实验原理
两个序列的N点的循环卷积定义为
[h(n)?x(n)]N??h(m)x((n?m))N (0?n?N)k?0N?1从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环
卷积结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
两个序列的N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2，此时线性卷积结果的序列点数为N'?N1?N2?1；因此如果循环卷积的点数N小于N1?N2?1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足N?N'的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0?n?N范围内相同。
根据DFT循环卷积性质中的卷积定理
DFT{[h(n)?x(n)]N}?DFT[x(n)]?DFT[h(n)]
因此可以根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。
三、实验分析
例题：已知有限长序列x(n)与h(n)如下图所示， （1） 画出两者之间的线性卷积 （2） 8点圆卷积。 （3） 5点圆卷积。
解析如下：
（1）x(n)与h(n)的线性卷积，由公式可知：
h(n)*x(n)?m????x(m)h(n?m)
?x(m)与h(?m)的图形如下：
利用方格平移法：
1 3 2 1 0 0
由方格平移法可知： 当n?0时，h(n)*x(n)?0 当n?1时，h(n)*x(n)?0
当n?2时，h(n)*x(n)?0*1?1*1?1 当n?3时，h(n)*x(n)?2*1?1*1?0*1?3 当n?4时，h(n)*x(n)?3*1?2*1?1*1?0*1?6 当n?5时，h(n)*x(n)?3*1?2*1?1*1?0*1?6 当n?6时，h(n)*x(n)?3*1?2*1?1*1?6 当n?7时，h(n)*x(n)?3*1?2*1?5 当n?8时，h(n)*x(n)?3*1?3
1 1 1 1
得到图形如下：
（2）x(n)与h(n)的8点圆卷积，由公式可知：
x(n)?h(n)??x((m))8h((n?m))8G8(n)
n?07x((m))8与h((?m))8的图形如下：
根据下面图表可计算得到圆卷积： 当n?0时： 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 2 0 0 1 0 0 0 0 取和得到圆卷积为3。
当n?1时： 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 取和得到圆卷积为0。
当n?2时： 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 取和得到圆卷积为1。
当n?3时： 1 1 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 取和得到圆卷积为3。
当n?4时： 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 取和得到圆卷积为6。
当n?5时： 1 1 0 0 3 3 1 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 取和得到圆卷积为6。
当n?6时： 1 1 0 0 0 0 1 3 3 1 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 取和得到圆卷积为6。
当n?7时： 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 1 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 取和得到圆卷积为5。
得到波形如下：
（2）x(n)与h(n)的5点圆卷积，由公式可知：
x(n)?h(n)??x((m))4h((n?m))4G4(n)
n?04x((m))4与h((?m))4的图形如下：
根据图标可计算得到圆卷积： 当n?0时： 1 1 0 0 取和得到圆卷积为6。
1 2 2 1 1 1 1 0 0 3 3