规划很好卡卡看法第二章 随机变量及其分布
章末复习课
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1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．
“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
2．对独立重复试验要准确理解．
(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k，它是n次独立重复试
验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚． (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．
(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生
— — — — 为A·B；都不发生为A ·B ；恰有一个发生为(A ·B)∪(A·B )；至多有一个发生为— — — — (A ·B )∪(A ·B)∪(A·B )．
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规划很好卡卡看法4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．
5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．
(2)D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度．D(ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中．
(3)D(aξ＋b)＝aD(ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．
6．对于正态分布，要特别注意N(μ，σ)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x＝μ.
2
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专题一 条件概率的求法
条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．
[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A7＝42， 根据分步乘法计数原理，n(A)＝A4×A6＝24. 于是P(A)＝
1
1
2
n（A）244
＝＝.
n（Ω）427
2
(2)因为n(AB)＝A4＝12， 所以P(AB)＝
n（AB）122
＝＝.
n（Ω）427
(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝
P（AB）
＝
P（A）
241÷＝. 772
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝24，
2
规划很好卡卡看法所以P(B|A)＝归纳升华
n（AB）121
＝＝. n（A）242
解决概率问题的步骤．
第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．
第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．
第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：
P（AB）n（AB）
P(B|A)＝.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝. P（A）n（A）
[变式训练] 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为是多少？
3×6
解：“第一次抛出偶数点”记为事件A“，第二次抛出偶数点”记为事件B，则P(A)＝
6×613×31＝，P(AB)＝＝. 26×64
所以P(B|A)＝
P（AB）111
＝÷＝.
P（A）422
专题二 互斥事件、独立事件的概率
要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．
[例2] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．
解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DEF，DEF，DEF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意，知ξ的可能取值为0，1，2，3.
3
规划很好卡卡看法P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(D EF)＋P(DEF)＋P(D EF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋
0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.
[变式训练] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．
解：记Ai表示事件“同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备”，i＝0，1，2，B表示事件“甲需使用设备”，C表示事件“丁需使用设备”，D表示事件“同一工作日至少3人需使用设备”．
(1)D＝A1BC＋A2B＋A2BC，
2P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ci2×0.5，i＝0，1，2，所以
P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2BC)
＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2BC)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C) ＝0.31.
(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．
P(X＝1)＝P(BA0C＋BA0C＋BA1C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝
0.6×0.5×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.5×0.4＋(1－0.6)×2×0.5×(1－0.4)＝0.25.
专题三 独立重复试验与二项分布
二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式Pn(k)＝Cn·p(1－p)
－k2
2
2
kkn，k＝0，1，2，…，n，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．
4
规划很好卡卡看法[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率34
都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的
55个数，求X为1和3的概率．
解：(1)设事件A＝“ 张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
3— — 5C61
因为P(A )＝3＝，所以P(A)＝1－P(A )＝. C1066
1
1
0
2
?2?10?3??2?4281?3?(2)P(X＝1)＝C2??·??·＋C2??·??·＝； ?5??5?5?5??5?5125
P(X＝3)＝C22??·??·＝55
归纳升华
解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式Pn(k)＝Cn·p(1－p)
kkn－k?3???
2
?2???
0
436
. 5125
，k＝0，1，2，…，n必须在满足“独立重复试验”
时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．
[变式训练] 一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：
①3位病人都被治愈的概率为0.9； ②3人中的甲被治愈的概率为0.9；
③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.9×0.1； ④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.1. 其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．
解析： ①中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率，其概率为0.9，故①正确；由独立重复试验中，事件A发生的概率相同，知②正确；③中恰有2人被治愈的概率为P(X＝2)＝C3p(1－p)＝3×0.9×0.1，从而③错误；④中恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈，故概率为C3×0.9×0.1＝3×0.9×0.1，从而④正确．
答案：①②④
专题四 离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容．
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