规划很好卡卡看法[例4] (2016·天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
C3C4＋C31
解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 2C1031
所以，事件A发生的概率为.
3
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2. C3＋C3＋C44
P(X＝0)＝＝， 2C1015C3C3＋C3C47
P(X＝1)＝＝， 2
C1015C3C44
P(X＝2)＝2＝. C1015
所以随机变量X的分布列为：
1111
11
2
2
2
11
2
X P 0 4 151 7 152 4 15474随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
151515归纳升华
(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．
(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用
nE(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出均值，然后利用D(X)＝?[xi－E(X)]2pi求出
i＝1
方差．
[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
6
规划很好卡卡看法降水量X 工期延误天数X＜300 0 300≤X＜700 2 700≤X＜900 6 X≥900 10 Y 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差．
(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解：(1)由已知条件有P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为
Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3， D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7， 又P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝
P（300≤X＜900）0.66
＝＝.
P（X≥300）0.77
6
故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 7专题五 正态分布及简单应用
高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500，50)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．
解：因为考生成绩X～N(500，50)，所以μ＝500，σ＝50，
1
所以P(550 21 (0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 2 故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华 7 2 2 规划很好卡卡看法 正态分布概率的求法 1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率． 2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题． [变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________． 解析：设X表示此镇农民的平均收入，则X～N(5 000，200)． 由P(5 000－200＜X≤5 000＋200)＝0.682 6. 0.682 6 得P(5 000＜X≤5 200)＝＝0.341 3. 2 故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想 方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果． [例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一1 等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工 4的零件不是一等品的概率为 12，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. 129 2 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有 ???— ?1即P（B）[1－P（C）]＝1， ② ?P（BC ）＝12，?12 2?P（AC）＝2，?P（A）P（C）＝. ③?9?9 P（A）[1－P（B）]＝， ① 1 4 9 由①③得P(B)＝1－P(C)，代入②得 827[P(C)]－51P(C)＋22＝0. 211 解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)． 39 2 — 1 P（AB ）＝，4 8 规划很好卡卡看法211 将P(C)＝分别代入②③可得P(A)＝，P(B)＝. 334 112 故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，. 343 (2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件． — 2315 则P(D)＝1－P(D )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝. 3436 5 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为. 6归纳升华 (1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p1≥0，i＝1，2，3，…， nn；②?pi＝1，列出方程或不等式求出未知数． i＝1 (2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为： ξ 0 9a－a 21 3－8a P 求常数a及相应的分布列． 9a－a＋3－8a＝1，??2 解：由离散型随机变量的性质得?0≤9a－a≤1， ??0≤3－8a≤1，21 解得a＝(舍去)或a＝. 33所以，随机变量的分布列为： ξ 0 2 31 1 32 P 9