2.2 部分电路欧姆定律
【学习目标】
1．明确导体电阻的决定因素，能够从实验和理论的两个方面理解电阻定律，能够熟练地运用电阻定律进行计算。
2．理解部分电路欧姆定律的意义，适用条件并能熟练地运用。
3．金属导体中电流决定式的推导和一些等效电流的计算。
4．线性元件和非线性元件的区别以及部分电路欧姆定律的适用条件。
【要点梳理】
知识点一、电阻定义及意义
要点诠释：
1．导体电阻的定义及单位
导体对电流的阻碍作用叫做导体的电阻，导体的电阻与导体本身性质有关，与电压、电流均无关。 （1）定义：导体两端的电压与通过导体的电流大小之比叫导体的电阻。 （2）公式：R?UI. （3）单位：欧姆(Ω)，常用单位还有千欧(kΩ)、兆欧(MΩ). 1Ω?10?3kΩ?10?6MΩ.
2．物理意义
反映导体对电流阻碍作用的大小。 说明：
①导体对电流的阻碍作用，是由于自由电荷在导体中做定向运动时，跟导体中的金属正离子或原子相碰撞发生的。
②电流流经导体时，导体两端出现电压降，同时将电能转化为内能。 ③R?UI提供了测量电阻大小的方法，但导体对电流的这种阻碍作用是由导体本身性质决定的，与所加的电压，通过的电流均无关系，决不能错误地认为“导体的电阻与导体两端的电压成正比，与电流成反比。” ④对R?UI，因U与I成正比，所以R??U?I. 知识点二、电阻定律
1．电阻定律的内容及适用对象
（1）内容：同种材料制成的导体，其电阻R与它的长度l成正比，与它的横截面积S成反比；导体电阻与构成它的材料有关。 （2）公式：R??lS. 要点诠释：式中l是沿电流方向导体的长度，S是垂直电流方向的横截面积，?是材料的电阻率。
（3）适用条件：温度一定，粗细均匀的金属导体或浓度均匀的电解质溶液。 要点诠释：①电阻定律是通过大量实验得出的规律，是电阻的决定式。 ②导体的电阻反映了导体阻碍电流的性质，由导体本身的因素决定。 2．电阻率的意义及特性
（1）物理意义：电阻率?是一个反映导体导电性能的物理量，是导体材料本身的属性，与导体的形状、大小无关。 （2）大小：??RSl. 要点诠释：各种材料的电阻率在数值上等于用该材料制成的长度为1m，横截面积为1m2的导体的电阻。 （3）单位是欧姆·米，符号为Ω?m.
（4）电阻率与温度的关系：各种材料的电阻率都随温度的变化而变化。 ①金属的电阻率随温度升高而增大，可用于制造电阻温度计。
②有些合金如锰铜、镍铜的电阻率几乎不受温度变化的影响，可用来制作标准电阻。
③各种金属中，银的电阻率最小，其次是铜、铝，合金的电阻率大于组成它的任何一种纯金属的电阻率。 知识点三、部分电路欧姆定律
1．欧姆定律的内容及表达公式
（1）内容：导体中的电流跟它两端的电压成正比，跟它的电阻成反比。 （2）公式：R?UI. 2．定律的适用条件及注意事项
（1）运用条件：金属导电和电解液导电的纯电阻电路（不含电动机、电解槽、电源的电路）。 （2）注意事项
①欧姆定律中说到的电流、导体两端的电压、电阻都是对应同一导体在同一时刻的物理量。 ②欧姆定律不适用于气体导电。
③用欧姆定律可解决的问题：a．用来求导体中的电流。b．计算导体两端应该加多大电压。c．测定导体的电阻。
知识点四、元件的伏安特性曲线
1．伏安特性曲线的定义及意义 定义：建立平面直角坐标系，用纵轴表示电流I，用横轴表示电压U，画出导体的I?U图线叫做导体的伏安特性曲线。 在I?U图线中，图线的斜率表示导体电阻的倒数，图线斜率越大，电阻越小；斜率越小，电阻越大。k?1R. 在U?I图线
中，图线的斜率表示电阻。 2．线性元件与非线性元件 （1）线性元件：当导体的伏安特性曲线为过原点的直线，即电流与电压成正比的线性关系，具有这种特点的元件称为线性元件，如金属导体、电解液等。
（2）非线性元件：伏安特性曲线不是直线的，即电流与电压不成正比的电学元件，称为非线性元件，如气态导体，二极管等。
3．小灯泡的伏安特性曲线
4．二极管的伏安特性曲线及特点 二极管在伏
安特性曲线，如图所示：
（1）二极管具有单向导向性，加正向电压时，二极管电阻较小，通过二极管的电流较大；加反向电压时，二极管的电阻较大，通过二极管的电流很小。 （2）由图象可以看出随电压的增大，图线的斜率在增大，表示其电阻
随电压升高而减小。
【典型例题】
类型一、 电阻定律
例1．两根完全相同的金属裸导线，如果把其中一根均匀的拉长到原来的两倍，把另一根导线对折后绞合起来，则它们的电阻之比为多少？
【答案】16∶1【解析】金属线原来的电阻为: R??lS. 拉长后：l'?2l，因为体积V?lS不变，所以S'?S2: R'??l'lS'?4?S?4R，
对折后l\?l2，S''?2S，所以 R''l''??S''???l/2R2S?4，
则
R':R''?16:1.
【点评】决定导体电阻大小的三因素是：导体的材料、长度和横截面积，无论哪一个发生变化，导体的电
阻都要发生改变，对本题对折前后和拉长前后导体的总体积均未发生变化。
举一反三：
【变式】下列说法中正确的是（ ）
A．由R?UI可知，一段导体的电阻跟它们两端的电压成正比，跟通过它的电流强度成反比 B．由??RSL可知，导体越长，则电阻率越大
C．比较几只定值电阻的I?U图象可知，电流变化相同时，电压变化较小的图象是属于阻值较小的那个电
阻的
D．一金属丝均匀拉长后，再对折并联，其阻值一定不变 【答案】C
【解析】导体的电阻取决于导体本身，与U、I无关，故A错；电阻率是导体本身的属性，与导体的长度、横截面积无关，故B错；由定值电阻的I?U图象的特点比值
?U?I反映了导体电阻的大小，?I相同时，?U小的阻值就小，所以C正确；一金属丝均匀拉长后，再对折并联，长度和横截面积均发生变化，阻值不一定不变，所以D错误．
类型二、欧姆定律的基本应用
例2.若加在某导体两端的电压变为原来的3/5时，导体中的电流减小了0.4A.如果所加电压变为原来的2倍，则导体中的电流为多大？ 【答案】2.0A
3U 【解析】解法一：由欧姆定律得R?U005I,又知R?, 解得I?1.0A.又因为R?U0?2U0,0I00?0.4I0I2所以I2?2I0?2.0A.
解法二：画出导体的I?U图像，如图所示，设原来导体两端的电压为U0时，导体中的电流为I0. 当U?3U05时，I?I0?0.4． 当U?2U0时，电流为I2． 由图知，
I0?0.4?I0?0.4?I23． 5UU022U005U0 所以I0?1.0A,I2?2I0?2.0A．
【点评】（1）用I?U图像结合比例式解题，显得更直观、简捷，物理意义更鲜明．
（２）导体的电阻是导体本身的一种属性，通常情况下R与U、I无关，因而R?U?I?U?I,用此式讨论问题更简明.
举一反三：
【变式1】如图所示，在A、B两端加一恒定不变的电压U，电阻R1为60Ω，若将R1短路，R2中的电流增大到原来的4倍，则R2为（ ）
A．40Ω B．20Ω C．120Ω D．6Ω
【答案】B
【解析】设R1短路前R1、R2两端的电压分别为U1、U2，由题得4U2?U，U1?U2?U,U1?3U2.在串联电路中电压分配与电阻成正比，即 R1?3R2 , 所以：R2?20Ω.
【变式2】如图所示电路，当a、b两端接入100伏特的电压时，c、d两端为20伏，当c、d两端接入100伏特电压时，a、b两端电压为50伏，则R1:R2:R3是（ ）
A．4∶2∶1 B．2∶∶11 C．3∶2∶1 D．1∶2∶1 【答案】A
【解析】当a、b两端接入100伏特的电压时，c、d两端为20伏，把电路看作图1，电路中有效电阻为
两个R1与 R2的串联。由串联电路中电压分配与电阻成正比的知识，由电压关系得：R1:R2?2:1；
当c、d两端接入100伏特电压时，a、b两端电压为50伏，把电路看作图2，电路中有效电阻为两个R3与 R2的串联。由串联电路中电压分配与电阻成正比的知识，由电压关系得：R2:R3?2:1；
R?3联立两式得：R1:R2:R3?4:2:1．
【变式３】如图所示，滑动变阻器的总电阻R?3千欧，电压U?10伏，想使一个阻值为3千欧的用电器获得4伏特的电压，变阻器的滑动触头应在（ ）
A．位置A B．位置B
C．中点处
D．位置P（BP?13AB） 【答案】C
【解析】这是一个分压电路，也是高中阶段很重要的一个电路。设滑动变阻器与用电器并联部分电阻为R,由串、并联电路电压分配与电阻成正比的知识：
3k??R10V?4V3kΩ?R?4V,
R?3kΩ解得：R?1.5kΩ.即变阻器的滑动触头应在中点处. 类型三、由伏安曲线进行分析计算
例3．（2016 福建模拟）小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图7-1-4所示，P为图线上一点，PN为图线在P点的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线，则下列说法中正确的是( )
A．随着所加电压的增大，小灯泡的电阻减小
B．对应P点，小灯泡的电阻为R?U1I 1C．对应P点，小灯泡的电阻为R?U1I
2?I1D．对应P点，小灯泡的功率为图中矩形PQOM所围面积
【解析】由图可知流过小灯泡的电流I随所加电压U变化的图线为非线性关系，可知小灯泡的电阻随所加电压的增大而逐渐增大，选项A错误；根据欧姆定律，对应P点，小灯泡的电阻应为R?U1I，选项B、C错2误；对应P点，小灯泡的功率为P＝U1I2，也就是图中矩形PQOM所围面积，选项D正确。
【点评】随着电压的升高，曲线的斜率越来越小，电阻越来越大，因此其电阻不是一个固定的值，其电阻随温度的升高逐渐变大。
举一反三：
【变式1】两电阻R1、R2的电流I和电压U的关系图线如图所示，可知电阻大小之比R1∶R2等于
（ ）
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶3 D．3∶1
【答案】A
【解析】在I?U图线中，图线的斜率表示导体电阻的倒数，图线斜率越大，电阻越小；斜率越小，电阻越大。由k=1R可知： R?1111k?600?3， 1tanR2?1k?121?3. 3∴R∶R112?3∶3?1∶3.
【变式2】如图所示对应的两个导体： （1）电阻关系R1∶R2为_____________；
（2）若两个导体中的电流强度相等（不为零）时，电压之比U1∶U2=___________； （3）若两个导体两端的电压相等（不为零）时，电流强度之比I1∶I2=___________．
【答案】3∶1；3∶1；1∶3． 【解析】（1）由图可知，
R1?1k?15?2Ω； 110R12?k?1?2Ω. 215310所以：
R1∶R2?3:1．
（2）若两个导体中的电流强度相等，则为两个导体串联，电压之比与电阻成正比：U1∶U2?R1∶R2?3∶1．（3）若两个导体两端的电压相等，则为两个导体串联，电流强度之比与电阻成反比比：I1∶I2?R2∶R1?1∶3．类型四、部分电路欧姆定律的综合应用
例4．如图所示电路，已知R1?30Ω，R2?15Ω，R3?30Ω，R4?60Ω，R5?90Ω，A、B间的电压
U一定，求：
（1）电键K断开时A、B间的总电阻RAB及R1与R2上的电压之比U1∶U2是多少? （2）K闭合时RAB与U1∶U2是多少?
【答案】（1）U1:U2?2:1，RAB?22.5Ω；（2）RAB?20.77Ω，U1:U2?5:4．
【解析】（1）电建断开的时候，电路相当于R1与R2串联，R3与R4串联，然后两组都与R5并联，如图所示：
R12?R1?R2?30?15?45Ω，
R34?R3?R4?30?60?90?， RR12?R34?R545?90?90AB?R?R??22.5Ω．
12R3434R5?R12R545?90?90?90?45?90两个导体串联，电压之比与电阻成正比：
U1:U2?R1：R2?30:15?2:1.
（2）电键闭合时电阻相当于R1和R3并联等效电阻再与R2和R4并联的等效电阻串联，最后与R5并联,如图所示：
RR1?R313?R?30?30?15Ω，
1?R330?30
RR2?R424?R?R?15?60?60?12Ω，
2415 R1234?R13?R24?15?12?27Ω，
RR1234?R5AB?R?27?90?20.77Ω．
1234+R527?90两个导体串联，电压之比与电阻成正比：
U1:U2?R13:R24?15:12?5:4.
【点评】这类题目，首先要解决好根据题意画出等效电路。还要注意三个电阻并联总电阻的计算公式是
R1R2R3并=RR，而不是RR1R2R3并=.
1R2?R2R3?R1R3R1?R2?R3
举一反三：
【变式1】如图所示的电路中，各电阻的阻值已标出，当输入电压UAB?110V时，输出电压
UCD?___________V．
【答案】1
【解析】电路的总电阻为
R????(9R?R)//109R?AB???10R
10R?10 =9R?10R?11R. 10R?109R由串联分压得并联部分的电压为