直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线相交的弦长公式 ①AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2（两点之间的距离）
②AB?1?k2?x2?x1?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ③AB?1?1?y2?y1?(1?1)?[(y1?y2)2?4y1y2] 22kk一、已知双曲线方程和直线方程求弦长
y2??1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求AB；⑵?F2AB的面积（F2为例1、 过双曲线x?632双曲线的右焦点）。
y2?1截得的弦长； 1、求直线y?x?1被双曲线x?42
2、过双曲线16x?9y?144的右焦点作倾斜角为
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22?的弦AB，求弦长AB； 3
x2y2??1截得的弦长为25，求直线L的方程； 3、已知斜率为2的直线L被双曲线54
4、过双曲线x2?y2?1的左焦点F2，作倾斜角为（1）弦长AB
（2）△?F1AB的周长（F2为双曲线的右焦点）
二、已知弦长求双曲线方程
5、 已知焦点在x轴上的双曲线上一点P，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y?x?2被双曲线截得的弦长为202，求此双曲线的标准方程．
6、已知倾斜角为
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?的直线与双曲线相交于A,B两点，求： 3?22的直线l被双曲线x?4y?60截得的弦长AB?82，求直线l的方程． 4
例2、 已知双曲线方程为3x?y?3，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．
解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3x?y?3.
问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
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2222
7、已知中心在原点，顶点A1,A2在x轴上，离心率为（Ⅰ）求双曲线的方程；
21的双曲线经过点P(6,6) 3（Ⅱ）动直线l经过?A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M,N，问是否存在直线l使G平分线段MN。试证明你的结论。
题型三：
x229、设双曲线C:2?y?1?a?0?与直线l:x?y?1相交于不同的点A、B.
a⑴求双曲线C的离心率e的取值范围； ⑵设直线l与y轴的交点为P，且PA?x22
解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线2－y＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 ① 由题设条件知，
a
2
??1－a≠0?4
22
?4a＋8a－a?
5PB，求a的值。 12
1＋a2，解得0
6
且e≠2. 2
4 / 8
1＋1， a2∵0
→→
555
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵PA＝PB， ∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2，
121212172a2522a2
∵x1、x2是方程①的两根，且1－a≠0， ∴x2＝－，x＝－，
121－a21221－a22
2a228917
消去x2得，－， ∵a>0，∴a＝. 2＝60131－a
10. 已知双曲线的焦点为F1??c,0?，F2?c,0?，过F2且斜率为，PQ?4，求双曲线方程。 OP?OQ (其中O为原点）
11. 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分
3的直线交双曲线于P、Q两点，若5AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 别交l1，l2于A，B两点．已知OA、（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设OA?m?d，AB?m，OB?m?d 由勾股定理可得：(m?d)?m?(m?d)
2221bAB4m，tan?AOF?，tan?AOB?tan2?AOF?? 4aOA3b2
a?4，解得b?1,则离心率e?5． 由倍角公式?2
a232?b?
1????a?
x2y2a（Ⅱ）过F直线方程为y??(x?c),与双曲线方程2?2?1联立，将a?2b，c?5b代入，
bab得：d?2??a?2?15285?a?2(x?x)?4x1x2?化简有2x? x?21?0 4?1???x1?x2??1?????12??4bb?b???b??????325b?2x2y228b2??, 解得b?3 故所求的双曲线方程为??1。 ?4将数值代入，有4?5?????3695???15???x2y2
12、已知双曲线2－2＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上．
ab11
(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l与双曲线交于P，Q两点，且OP?OQ?0.求的值． 2＋|OP||OQ|2 5 / 8