2
2
2
2
x2y2
解： (1)∵e＝2，∴c＝2a，b＝c－a＝3a，双曲线方程为2－2＝1，即3x2－y2＝3a2.
a3a
∵点M(5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4. x2y2
∴所求双曲线的方程为－＝1.
412
x2y2
(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1，得
412
12?2x??12?k2＋1?1?3?k2222
∴|OP|＝x＋y＝. 则OQ的方程为y＝－x， 2?2k3－k
?y2?12k?3?k2?1??12?1?2?2
3－k2＋?3k2－1?2＋2k2111k?12?k＋1??2
同理有|OQ|＝＝， ∴＝＝. 2＋2＝222|OP||OQ|3k－112?k＋1?12?k＋1?613?2k13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；
(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
?x22??y2?1，左顶点A??解：(1)双曲线C1：
?2,0??，渐近线方程为：y＝±2x. 1??2过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为y??2?2?x?，即y＝2x＋1. ???2???2y????12??y??2x4. ∴解方程组?，得?所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
281y?2x?1???y???2|b|
(2)证明：设直线PQ的方程是y＝x＋b，∵直线PQ与已知圆相切，∴＝1，即b2＝2.
2由??y?x?b?2x?y?122得x2－2bx－b2－1＝0. 设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则??x1?x2?2b?x1x2??1?b2
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，
∴OP?OQ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ. (3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝23
，则O到直线MN的距离为. 23
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当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx(显然k?2)， 21?2x???y?kx1?4?k2则直线OM的方程为y＝－x. 由?2得? 22k
?4x?y?1?y2?k?4?k2?1＋k21＋k22
∴|ON|＝.同理|OM|＝2. 设O到直线MN的距离为d.
4＋k22k－1
2
3k2＋31113
∵(|OM|＋|ON|)d＝|OM||ON|， ∴2＝＝3，即d＝. 2＋2＝2d|OM||ON|3k＋1
2
2
2
2
2
综上，O到直线MN的距离是定值．
五、能力提升
1．若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线x?y?1总有公共点，则b的取值范围是（ ） (A) ?3,3 (B)[?3,3] (C) ??2,2? (D) ??2,2?
22??y2?1的右焦点F作直线l交双曲线于A、2．过双曲线x?B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（ ） 22 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
x2y2b??3．过点P??1,??的直线l与双曲线2?2?1?a?0,b?0?有且仅有一个公共点，且这个公共点恰
aba??是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）
(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4
x2y24. 已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45?的直线与双曲线的右支
ab有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)
6．直线l:y?kx?2与双曲线C:x?y?6的右支交于不同两点，则k的取值范围是 ． 7. 已知倾斜角为
22?22的直线l被双曲线x?4y?60截得的弦长AB?82，求直线l的方程． 4
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x2y28. 设直线l:y?3x?1与双曲线于2?2?1?a?0,b?0?相交于A、B两点，且弦AB中点的横坐标
ab为
1． 2a2 (1)求2的值；(2)求双曲线离心率．
bx2y29. 已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率e?1?2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，
abld与PF2的等比中项？ 能否在双曲线的左支上找到一点P，使得PF1是P到的距离
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