课时作业(五十)
一、选择题 1.
如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )
21A.π B.π 12C.2 D．1－π 答案 D
11
解析 S扇形＝4πR2＝π，S△＝2×2×2＝2，S阴影＝S扇形－S△＝π－2.由几何概型π－22
概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P＝π＝1－π.
xy
2．在集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素，能使不等式5＋2－1≤0成立的概率为( )
13A.4 B.4 12C.3 D.3 答案 A
解析 集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线
xy
x＝0，x＝5，y＝0，y＝4所围成的长为5、宽为4的矩形，而不等式5＋2－1≤0和集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直
1
2×5×21
角三角形，由几何概型公式可以求得概率为＝4. 5×4
3.
(2011·青岛)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成的如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能 )，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
12A.π B.π 3πC.π D.4 答案 A
解析 S矩形OABC＝2π，S阴影＝?πsinxdx＝2，
?021
由几何概型概率公式得P＝2π＝π.
4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件
?－2?≤4 为事件A，则事件A发生的概率为( ) {f?2?≤15A.4 B.8 13C.2 D.8 答案 C
解析
??0≤c≤4
由题意知，事件A所对应的线性约束条件为?4＋2b＋c≤12
??4－2b＋c≤14
S△OADS正方形OABC
0≤b≤4
，其对
应的可行域如图中阴影部分所示，所以事件A的概率P(A)＝
1
＝2，选C.
5．已知实数a满足－3
A．P1>P2 B．P1＝P2
C．P1 解析 若f(x)的值域为R，则Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2. －2－?－3?4－23 故P1＝＋＝7. 4－?－3?4－?－3? 若f(x)的定义域为R，则Δ2＝a2－4<0，得－2 故P2＝7.∴P1 6．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0使f(x0)≤0的概率为________． 答案 0.3 解析 如图，在[－5,5]上函数的图象与x轴交于两点(－1,0)，(2,0)，而x0∈[－1,2]，那么f(x0)≤0. 区间[－1，2]的长度3 所以P＝＝＝0.3. 区间[－5，5]的长度10 x2y23 7．在区间(0,2)内任取两数m，n(m≠n)，则椭圆m2＋n2＝1的离心率大于2的概率为________． 1答案 2 解析 如图，m，n的取值在边长为2的正方形中． 当m>n时，椭圆离心率e＝3 由e>2，得m>2n. 同理，当m 1 故满足条件的m，n为图中阴影部分．所求概率P＝＝2. 228．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝30°，则该菱形内的点到菱形的顶点A，B的距离均不小于1的概率是________． 解析 1 2×2×2×1 m2－n2 ＝m n 1－?m?2， 如图所示，只有当点位于图中的空白区域时，其到A，B的距离才均不小于1，菱形的面积为2×2×sin30°＝2，两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为 π 2－24－π ππ 1的半圆，其面积为2，故空白区域的面积为2－2，所求的概率是2＝4＝1π－4. 9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距 离小于等于a的概率为________． 143 8×3πaπ1 解析 满足条件的点在半径为a的8球内，所以所求概率为p＝a3＝6. 10．(2011·深圳)利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程x＝ab －2a－x有实根的概率为________． 1答案 4 ab 解析 方程x＝－2a－x即x2＋2ax＋ab＝0若方程有实根，则有Δ＝4a2－4ab≥0，即b≤a，其所求概率可转化为几何概率，如图，其概率等于阴影面积与 1 正方形面积之比．∴P＝2. 11．周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷一点，则点落在△OAB内的概率是__________． 1答案 2sin2 11 解析 设扇形周长为m，半径为r，则弧长l＝m－2r，扇形的面积是2rl＝2r(m12r＋m－2r2m2mm －2r)≤4·()＝16，当且仅当r＝4时等号成立，此时扇形的弧长为2，故 2 12 2rsin21l 此时扇形的圆心角为r＝2弧度，点落在△OAB内的概率是1＝sin2. 22 2×2×r 三、解答题 12．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率． 解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－ x<－4. 作出区域 0≤x<24，?? ?0≤y<24，??y－x<4或y－x<－4 设“两船无需等待码头空出”为事件A， 1 2×2×20×20 25 则P(A)＝＝36. 24×24 (2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4， 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域 0≤x<24，?? ?0≤y<24，??y－x>4或x－y>2 . 11 ×20×20＋22×22×22P(B)＝ 24×24 442221＝576＝288. 13．(2011·广东深圳)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M. (1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率； (2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组： ?x＋2y－3≤0，?x≥0，?y≥0 所表示的平面区域内的概率． 解析 (1)记“复数z为纯虚数”为事件A. ∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，.－2＋2i,0，i,2i，