基本模型三 2?°套?° 4.(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B+∠D=180°, E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=1∠ BAD, 求证:EF= BE+ DF; 2(2)如图2,在(1)的条件下,若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时， 则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE- DF GADFB 解:(1)EF=BE+DF, 延长FD到点G，使DG=BE,连接AG, FADE ECBMC证△ABE≌△ADG (SAS), ..∴AE = AG, ∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=1∠BAD, 2∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠ BAD- ∠EAF= ∠ EAF, ∴∠ 'EAF= ∠GAF, 证△AEF≌△GAF(SAS),.∴EF= FG, ∵FG=DG+ DF=BE+ DF,∴EF=BE +DF; (2)EF=BE DF.
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外地试题： 4．探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF． 应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=1∠BAD，若EF=3，BE=2，则DF= ． 2 5．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+DF． （1）思路梳理 ∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，则点F、D、G共线． 根据 ，易证△AFG≌ ，从而得EF=BE+DF； （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF，请给出证明； （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． - 7 -
7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF，∠EAF=1∠BAD．现有三种添加辅助线的方式：①延长EB至G，使BG=BE，连接2AG；②延长FD至G，使DG=BE，连接AG；③过点A作AG⊥EF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，若∠B+∠D=180°，∠EAF=1∠BAD，证明（1）2中结论是否还成立？ （3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出它们之间的数量关系，并证明． 8．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1∠BAD．求证：EF=BE+FD． 21∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、2（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=BE、FD它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
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半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？
1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标；
（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连接OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由． 解：（1）如图所示，作AE⊥OB于E， ∵A（4，4）， ∴OE=4，
∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB， ∴OE=EB=4， ∴OB=8， ∴B（8，0）；
（2）如图所示，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∵△ACD为等腰直角三角形， ∴AC=DC，∠ACD=90° 即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°， ∴∠ACF=∠FDC，
又∵∠DFC=∠AEC=90°， ∴△DFC≌△CEA（AAS）， ∴EC=DF=4，FC=AE， ∵A（4，4）， ∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF， ∴OF=CE， ∴OF=DF，
∴∠DOF=45°，
∵△AOB为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；
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（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在∴∠AEN+∠OEM=45° AM上截取AN=OF，连EN． 又∵∠AEO=90°， ∵A（4，4）， ∴∠NEM=45°=∠FEM， ∴AE=OE=4， 又∵EM=EM， 又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF， ∴△NEM≌△FEM（SAS）， ∴△EAN≌△EOF（SAS）， ∴MN=MF， ∴∠OEF=∠AEN，EF=EN， ∴AM-MF=AM-MN=AN， 又∵△EGH为等腰直角三角形， ∴AM-MF=OF， ∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°， 即AM=FM+OF；
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0 （1）求A、B两点坐标；
（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
（1）解：∵（a-b）2+|b-4|=0， ∴a-b=0，b-4=0，
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