20. （8 分）在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸 EF‖MN,小聪 在河岸 MN 上点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向,然后沿河岸走了 30 米,到达 B 处,测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30o方向,此时,其他同学测得 CD=10 米.请根据这些 数据求出河的宽度.(精确到 0.1) (参考数据: 2
1.414 , 3 1.732)
21.（15 分）正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 CF＝BE，AE 与 BF 交于 G 点．
（1）如图 1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF． （2）连接 CG 并延长交 AB 于点 H，
①若点 E 为 BC 的中点（如图 2），求 BH 的长；
②若点 E 在 BC 的边上滑动（不与 B、C 重合），当 CG 取得最小值时，求 BE 的长．
22．（15 分）如图，抛物线 y＝﹣x+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣7，0），B（1，0）两点，与 y
2
轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，顶点坐标为 M． （1）求抛物线的表达式和顶点 M 的坐标；
（2）如图 1，设点 E 的横坐标为 m，且 E 为抛物线上一点，点 E 不与点 M 重合，当 ﹣7＜m＜﹣2 时，过点 E 作 EF∥x 轴，交抛物线的对称轴于点 F，作 EH⊥x 轴与点 H， 得到矩形 EHDF，求矩形 EHDF 的周长的最大值；
（3）如图 2，点 P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 P，使以点 P、A、C 为顶点的三 角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4
2019 届海口市第十四中学、海口四中
中考模拟联考(二)数学试题答案
一、选择题 二、填空题 三、解答题 17. (1)原式=4×
3
+ 12 -3-2+1 = 2 3 2 分） ( 2 )a 原式= A D C B D
C D B C A
A D
15. 40o
16. 2
13. 4(x+2)(x-2) 14. 3≤x<4
2 3 - 4 = 4 3 - 4 （ 6
1 1
18.（1）设甲种树苗每棵的价格是 x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元， 480 360
根据题意 ，解得 x=30，经检验，x=30 是方程的解，x+10=30+10=40，
x
10
x
答：甲种树苗每棵的价格是 30 元，乙种树苗每棵的价格是 40 元。（5 分） （2）设他们可购买 y 棵乙种树苗，(50-y)棵甲种树苗，根据题意 30×(1-10％)(50-y)+40y≤1500，解得 y
7 11 ， 13
y 为整数，即 y 最大为 11，所以他们最多可购买 11 棵乙种树苗。（ 9 分） 19.（1）a=__18__，b=__0.18_；（4 分）
（2）补全条形统计图，如图所示：
（5 分）
（3）中位数会落 80≤x<90 段，故答案是：80≤x<90．（7 分） （4）350×0.30=105（人），
答：该年级参加这次比赛的 350 名学生中成绩“优等”的人数约有 105 人．（ 9 分） 20.解:如图作 BH⊥EF,CK⊥MN,,垂足分别为 H、K,则四边形 BHCK 是矩形, 设 CK=HB=x,∵∠CKA=90o,∠CAK=45o,∴∠CAK=∠ACK=45o, ∴AK=CK=x, BK=HC=AK-AB=x-30,HD=x-30+10=x-20,
在 Rt△BHD 中,∠BHD=90o,∠HBD=30o,
tan 30
HD 3 x
20
,
BH 3
x
解得 x 30 10 3 30 101.732 47.3
5
答：河的宽度为 47.3 米.（ 8 分）
21.（1）证明：①∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝4， ∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE 和△BCF 中，
，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（3 分）
②由①得：△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°， ∴AE⊥BF； （5 分） （2）解：①如图 2 所示：∵E 为 BC 的中点，∴CF＝BE＝ BC＝2， ∴BF＝
＝2
，由（1）得：AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
＝
＝ ，
∵∠BEG＝∠AEB，∴△BEG∽△AEB，∴
设 GE＝x，则 BG＝2x，
在 Rt△BEG 中，由勾股定理得：x+（2x）＝2，
2
2
2
解得：x＝ ，∴BG＝2× ＝ ，
∵AB∥CD，∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：BH＝ ；（10 分）
②由（1）得：∠AGB＝90°，∴点 G 在以 AB 为直径的圆上， 设 AB 的中点为 M，
由图形可知：当 C、G、M 在同一直线上时，CG 为最小值，如图 3 所示： ∵AE⊥BF，∴∠AGB＝90°，∴GM＝ ∴
＝
AB＝BM＝2，∵AB∥CD，
＝1，∴CF＝CG，∵CF＝BE，∴CF＝CG＝BE，
设 CF＝CG＝BE＝a，则 CM＝a+2，
在 Rt△BCM 中，由勾股定理得：2+4＝（a+2）， 解得：a＝2 ﹣2，即
当 CG 取得最小值时，BE 的长为 2 ﹣2．（15 分）
2
2
2
22.解：（1）∵抛物线 x 轴交于 A（﹣7，0），B（1，0）两点 ∴y＝﹣（x+7）（x﹣1）＝﹣x﹣6x+7＝﹣（x+3）+16
2
2
∴抛物线表达式为：y＝﹣x﹣6x+7，顶点 M 坐标（﹣3，16）．(4 分+1 分=5 分）
2
（2）∵点 E（m，﹣m﹣6m+7）为抛物线上一点，且﹣7＜m＜﹣2 ∴EH＝﹣m﹣6m+7
2
2
∵对称轴为直线 x＝﹣3，EF∥x 轴 ∴F（﹣3，y） ∴EF＝|﹣3﹣m|
6
①当﹣7＜m＜﹣3 时，E 在 F 左边，EF＝﹣3﹣m ∴C
矩形 EHDF
＝2（EF+EH）＝2（﹣3﹣m﹣m﹣6m+7）＝﹣2（m+ ）+
2
2
∴当 m＝ 时，最大值 C＝ （ 7 分）
②当﹣3＜m＜﹣2 时，E 在 F 右边，EF＝m+3 ∴C
矩形 EHDF
＝2（EF+EH）＝2（m+3﹣m﹣6m+7）＝﹣2（m+ ）+
2
2
∴当 m＝ 时，最大值 C＝ （ 9 分）
（10 分）
综上所述，矩形 EHDF 周长的最大值是 （3）存在满足条件的点 P． ①若∠PAC＝90°，则 PA⊥AC ∴直线 AC 解析式为：y＝x+7 当 x＝﹣3 时，y＝3﹣7＝﹣4 ②若∠PCA＝90°，则 PC⊥AC 当 x＝﹣3 时，y＝3+7＝10
∵点 A（﹣7，0），C（0，7） ∴直线 PA 解析式为：y＝﹣x﹣7 ∴P（﹣3，﹣4）
∴直线 PC 解析式为：y＝﹣x+7 ∴P（﹣3，10）
③若∠APC＝90°，取 AC 中点 G，连接 PG ∴G（
），PG＝ AC＝
设 P（﹣3，t）
∴PG＝（﹣3+ ）+（t﹣ ）＝（
2
2
2
）
2解得：t＝
1，t＝
2
∴P（﹣3， ）或（﹣3， ）
综上所述，使以点 P、A、C 为顶点的三角形是直角三角形的点 P 坐标有（﹣3，﹣4）， （﹣3，10），（﹣3，
），（﹣3，
）
（15 分）
7