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2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学·参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。 1.C
2.B
3.C
4.B
5.D
6.A
7.D
8.D
9.A
10.B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。 11.8；11 15.(1,4);(1,3]
12.?2；8
13.
21;3 7 14.7
(4,??)
16.1260 17.5
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（Ⅰ）由角?的终边过点P(?,?)得sin???所以sin(??π)??sin??35454， 54. 5343（Ⅱ）由角?的终边过点P(?,?)得cos???，
555512. 由sin(???)?得cos(???)??1313由??(???)??得cos??cos(???)cos??sin(???)sin?， 所以cos???5616. 或cos???656519.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能
力和运算求解能力。满分15分。 方法一：
（Ⅰ）由AB?2,AA1?4,BB1?2,AA1?AB,BB1?AB得AB1?A1B1?22，
222所以A1B1?AB1?AA1.
故AB1?A1B1.
由BC?2，BB1?2,CC1?1,BB1?BC,CC1?BC得B1C1?5， 由AB?BC?2,?ABC?120?得AC?23，
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222由CC1?AC，得AC1?13，所以AB1?B1C1?AC1，故AB1?B1C1.
因此AB1?平面A1B1C1.
（Ⅱ）如图，过点C1作C1D?A1B1，交直线A1B1于点D，连结AD.
由AB1?平面A1B1C1得平面A1B1C1?平面ABB1， 由C1D?A1B1得C1D?平面ABB1，
所以?C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.学科.网 由BC得cos?C1A1B1?11?5,A1B1?22,AC11?2161， ,sin?C1A1B1?77所以C1D?3，故sin?C1AD?C1D39. ?AC11339. 13因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是方法二：
（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
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由题意知各点坐标如下：
A(0,?3,0),B(1,0,0),A1(0,?3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1), uuuruuuuruuuur 因此AB1?(1,3,2),A,3,?2),AC1B1?(111?(0,23,?3),由AB1?A1B1?0得AB1?A1B1.
uuuruuuuruuuruuuur由AB1?AC得AB1?AC11. 11?0所以AB1?平面A1B1C1.
（Ⅱ）设直线AC1与平面ABB1所成的角为?.
uuuruuuruuur由（Ⅰ）可知AC1?(0,23,1),AB?(1,3,0),BB1?(0,0,2),
设平面ABB1的法向量n?(x,y,z).
uuur??x?3y?0,?n?AB?0,?由?uuu即?可取n?(?3,1,0). r?2z?0,??n?BB1?0,?uuuruuur|AC1?n|39?. 所以sin??|cosAC1,n|?uuur13|AC1|?|n|因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是39. 1320.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。
（Ⅰ）由a4?2是a3,a5的等差中项得a3?a5?2a4?4， 所以a3?a4?a5?3a4?4?28，
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解得a4?8.
由a3?a5?20得8(q?)?20， 因为q?1，所以q?2.
（Ⅱ）设cn?(bn?1?bn)an，数列{cn}前n项和为Sn. 由cn??1q?S1,n?1,解得cn?4n?1.
?Sn?Sn?1,n?2.n?1由（Ⅰ）可知an?2，
所以bn?1?bn?(4n?1)?()故bn?bn?1?(4n?5)?()12n?1，
12n?2,n?2，
?(b3?b2)?(b2?b1)bn?b1?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?
111?(4n?5)?()n?2?(4n?9)?()n?3??7??3.
2221121n?2设Tn?3?7??11?()??(4n?5)?(),n?2，
22211111Tn?3??7?()2??(4n?9)?()n?2?(4n?5)?()n?1 2222211121n?21n?1所以Tn?3?4??4?()??4?()?(4n?5)?()，
222221n?2因此Tn?14?(4n?3)?(),n?2，
21n?2又b1?1，所以bn?15?(4n?3)?().
221．本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算
求解能力和综合应用能力。满分15分。 （Ⅰ）设P(x0,y0)，A(1212y1,y1)，B(y2,y2)． 44因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程
12y?x022y?y02即y?2y0y?8x0?y0?0的两个不同的实数根． 4()?4?22所以y1?y2?2y0．
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因此，PM垂直于y轴．
??y1?y2?2y0, （Ⅱ）由（Ⅰ）可知?2??y1y2?8x0?y0,所以|PM|?123222(y1?y2)?x0?y0?3x0，|y1?y2|?22(y0?4x0)． 8431322?|PM|?|y1?y2|?(y0?4x0)2． 24因此，△PAB的面积S△PAB2y022因为x??1(x0?0)，所以y0?4x0??4x0?4x0?4?[4,5]．
420因此，△PAB面积的取值范围是[62,1510]． 422．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。
满分15分。
（Ⅰ）函数f（x）的导函数f?(x)?12x11x1??12x?1， x由f?(x1)?f?(x2)得111??， x12x2x21x2?1． 2因为x1?x2，所以由基本不等式得1x1x2?x1?x2?24x1x2． 2因为x1?x2，所以x1x2?256．
由题意得f(x1)?f(x2)?x1?lnx1?x2?lnx2?设g(x)?则g?(x)?所以
x g?(x) g(x) 1x?lnx， 21(x?4)， 4x1x1x2?ln(x1x2)． 2（0，16） - 16 0 2-4ln2 （16，+∞） + 所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
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故g(x1x2)?g(256)?8?8ln2， 即f(x1)?f(x2)?8?8ln2． （Ⅱ）令m=e?(a?k)，n=(a?12)?1，则 kf（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a 所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点． 由f（x）=kx+a得k?设h（x）=x?lnx?a． xx?lnx?a， xlnx?x?1?a?g(x)?1?a， 2?x2x2则h′（x）= 其中g（x）=x?lnx． 2由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根． 综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点． 精品文档 11