2019-2020年高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》教案2 新人教A
版必修4
一. 教学目标 1.关于向量的概念
(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何
表示;
(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用
向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力. (3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作
用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和 钻研精神.
2.关于向量的线性运算
(1) 通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;
(2) 让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识
的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.
(3) 通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题. 二. 重点难点
1.关于向量的概念
(1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示; (2)难点是对向量概念的理解; 2.关于向量的线性运算
(1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解
及其几何意义;
(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算, 并利用向量方法解决几何问题. 三. 教学过程 教学环教学内容 师生互动 设计意节 图 引入新对向量全章的的介绍:通过对书上章前话的解概念应用 让学生课 读,让学生体会向量的丰富实际背景,了解向量的研（1）通过具体的例了解大
究对象和研究方法,初步了解向量与几何代数之间题1体会向量的概致内容的关系. 念和几何表示; 和小学(2)概念引入与形成 通过例题2和例题3习本章 巩固向量的几何表的重要
示,相等,共线向量性 等概念
概念形1从常见的物理量力,位移等了解它们的特征是既有例1船向南航行 成 大小又有方向的量,建立向量的认知基础,自然引出100海里和向西航
向量概念; 行100海里的位移 2类比学生熟悉的数量如温度,身高,体积,风速,时相等吗?选择适当 间,通过比较,使学生在比较中加深对概念的认识. 的比例尺,用有向 3让再举出几个既有大小又有方向的量,以准确抓线段表示这两次 住向量的特点. 航行. (3)表示方法 例2某人从点出
① 再次类比数的表示方法,引出用有向线段表发向西走200到
示向量;(几何表示)
达点,然后朝西 ② 用有向线段的方向和长度分别表示向量的方
偏北45方向走 向和大小,赋予向量的几何意义;
300 到达点, ③ 提出字母表示方法,明确书写上的要求,为向
最后又向东走 量的运算做好准备.
200到达点.
(4)相关概念辨析
(1)按1:10000的 ① 从向
比例作出向量 量的模引出零向量和单位向量的概念;
和;
② 让学生了解相等向量规定的合理性,可利用
（2）求和的值.(精计算机演示向量的平行移动,体会向量的相确到1) 等,体会向量与有向线段之间的关系;
③ 由向量的平行移动体会平行向量和共线向量
例3在图中的4的方的等价性;
格纸中有一个向量,
分别以图中的格点为向量的起点和终点作向量.
(1)其中与相等的向量有几个?
（2）与长度相等的共线向量有多少个?
归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置 作业： P79练习A,B
2.1.2向量的线性运算
教学环教学内容 师生互动 节
引入新1)引入 实验准备 课 数因为有了运算而使数的威力无穷,与数的运算 情景1:让两个学生
类比,向量是否也能进行运算呢?从向量的物理背景中的甲从教室的某和数的运算中应该可以得到一些启发 地位移到地,再从地探究向量加法的定义法则 位移到地,
①教师提出问题:怎么定义任意二个向量的和？乙从直接到达地,观（教师在黑板上画出二个自由 察比较. 向量），让学生小组讨论以后,出现两种不同定义方结论:前者是位移式三角形法则和平行四边形法则. 的合成, 两次位移 ②针对两种方式,教师引导学生理解它们的本质的结果为,而与后者的一致性; 从点直接
设计意
图 通过实际例子，使学生学会用向量解决实际问题的方法
③同时提出思考问题那种定义更加严密？根据学生的回答，启发学生注意到平行四边形法则对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？
④最后看书上相关内容,补充对零向量的运算规定.
(5) 向量加法定义的运算律
① 请学生类比实数加法运算律，猜测一下运算
律是什么？
② 由学生提出探究的途径,并分组验证,交流作
图思路
③ 教师投影学生设计，并根据情况进行归纳点
评,总结探究过程和探究结论,让学生有一个完整的认识.
(6)应用举例
① 通过例5体会向量加法的实际应用; ② 通过例6体会向量加法在几何中的应用. 例5一架飞机向南飞行400,然后改变方向向东飞行300,试求飞机飞行的路程和位移.
例6在平面内能否构造三个非零向量 使.根据构造结果还可以
继续提出若,则三点共线是否正确?
3.关于向量的减法运算部分教学内容
(1)类比数的减法运算,提出相反向量的概念,定义减法运算;
(2)根据减法的定义,探索做出两个向量的差的方法,总结出向量减法的三角形法 则;
(3)比较加法和减法的三角形法则的区别 (4)应用举例
① 通过例7体会向量的加法和减法的三角形法
则的混合应用;
② 通过例8体会向量减法的实际应用. 例7在五边形 中, 若 ,,
求作向量
例8已知一艘船从点出发,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船
实际行驶速度为4,求河水的流速的大小.
归纳小结：使学生理解并掌握向量加法的几何意义。 作业1：P83练习A,B 作业2：P85练习A,B
到点的位移相同; 情景2:观看事前由学生做的力的合成的实验经过
要求①用二个互相垂直的力
把橡皮条拉长
一定的距离，再撤去，用一个力作用在橡皮条上，使橡皮 沿着相同的方向伸长相同的长度，记录的大小和方向; ②改变的大小和方向，重复以上实验，探究与的关系. ③得出结论：排除误差，合力的方向在以为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形该对角线的长. 例4如图，已知向量，，用三角形法则和平行四边形法则求作向量
2019-2020年高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》教案3 新人教
A版必修4
教学目的：
1．了解平面向量的实际背景； 2．掌握向量的几何表示； 3．理解向量的有关概念；
4．逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力和“知识重组”意识和“数形结合”能力。
教学重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。 教学难点：向量的概念和共线向量的概念。 授课类型：新授课
授课方式：讲授式、探究式 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。 教学过程： 一、引入
同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具。其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。成为理论后又反过来对其它学科起作用。比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系。 二、新授课
（一）向量的物理背景与概念
（提问）请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示
出来，如长度、质量等。还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）
（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）
注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 （二）向量的几何表示 引入：（由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。）
对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
有向线段：带有方向的线段叫有向线段。（如图） B终点 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、 B为终点的有向线段记作，起点写在终点的前面。 已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作. A起点
有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。） 向量的表示方法：
几何表示：①用有向线段表示；
字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：；
③用字母、、等表示。
问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问）
（①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段）
向量的长度（或称模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模）：记作。 零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作。 注意与0的区别（及书写方法）。
②长度等于1个单位的向量，叫单位向量。