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24．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a＞0）的图象，如图所示．
（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？
（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y=（x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（ ， ）的距离与它到定直线y= 的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．
（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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2015-2016学年江西省宜春市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）． 故选C．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
2．下列汽车标志中，是中心对称图形的有 （ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：第一个图形是中心对称图形； 第二个图形不是中心对称图形； 第三个图形是中心对称图形； 第四个图形不是中心对称图形． 故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件 B．“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大
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C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖
D．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为【考点】概率的意义；随机事件．
【分析】根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故此选项错误； B、“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大，该说法正确，故此选项正确； C、“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票可能会中奖，故此选项错误；
D、由于抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，即正面向上的概率为，故此选项错误． 故选B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
4．二次函数y1=x2﹣2x﹣1与反比例函数y2=﹣（x＞0）的图象在如图所示的同一坐标系中，若y1＞y2时，则x的取值范围（ ）
A．﹣1＜x＜1 或 x＞2 B．1＜x＜2
C．x＜1 D．0＜x＜1或x＞2 【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】直接求出两函数图象的交点横坐标，进而得出y1＞y2时x的取值范围． 【解答】解：由题意可得：x2﹣2x﹣1=﹣，
解得：x1=1，x2=2，即两函数图象的交点横坐标为：1，2； 则y1＞y2时，0＜x＜1或x＞2． 故选：D．
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【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确得出函数交点横坐标是解题关键．
5．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切． 【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4， 所以圆与y轴相交， 故选C．
【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象． 【专题】压轴题．
【分析】证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．
【解答】解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE， 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠BPE=90°，
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又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°， ∴∠BEP=∠CPD， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CDP， ∴
，即
，则y=﹣x2+x，y是x的二次函数，且开口向下．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键． 二．填空
7．请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式 y=x2 ． 【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题；二次函数图象及其性质．
【分析】开口向上即为a大于0，与x轴只有一个交点即为根的判别式为0，写出满足题意的抛物线解析式即可．
【解答】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y=x2． 故答案为：y=x2
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式的关系为：两个交点即为根的判别式大于0；一个交点即为根的判别式等于0；没有交点即为根的判别式小于0．
8．已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为 ﹣3 ． 【考点】根与系数的关系．
【分析】根据方程的解的定义求出b的值，根据根与系数的关系列式计算即可． 【解答】解：∵x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根， ∴b﹣3=0， 解得，b=3
设方程的另一个根为a， 则a+0=﹣3， 解得，a=﹣3，
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