2019-2020年高中数学人教A版选修2-3教学案：1-3-1 二项式定理 Word版含解析 预习课本P29～31，思考并完成以下问题 1．二项式定理是什么？
2．通项公式又是什么？
3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？
[新知初探]
二项式定理
二项式定理 二项展开式 二项式系数 二项展开 式的通项 [点睛] 应用通项公式要注意四点
(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；
(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )
nkk
(3)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．( ) na
－
n1n1nkknn(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb na＋Cnana－－公式右边的式子 Ckn(k＝0,1,2，…，n) nkkTk＋1＝Ckb na－答案：(1)× (2)× (3)×
1
x－?5的展开式中含x3项的二项式系数为( ) 2．??x?A．－10 C．－5 答案：D
2
x2－3?5展开式中的常数项为( ) 3．?x??A．80 C．40 答案：C
4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________． 答案：40 10
二项式定理的应用
B．－80 D．－40 B．10 D．5
?[典例] (1)求3x＋
?
1?4
的展开式； x?
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
?[解] (1)法一：3x＋
?
1?4
x?
?1?3＋C4·?1?4 413122?1?2
＝C0＋C33x·4(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)·4·4
?x??x??x?x
121
＝81x2＋108x＋54＋＋2．
xx1?4?3x＋1??法二：3x＋＝
x2x??1
＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121
＝81x2＋108x＋54＋x＋2．
x
5142332450
(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1
4
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
[活学活用]
1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为( ) A．x4 C．(x＋1)4
B．(x－1)4 D．x4－1
4131
解析：选A (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)＋C4(x＋1)(－1)＋223340444
C24(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＝[(x＋1)－1]＝x，故选A．
2．设n为自然数，化简C02n－C12n1＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cn n·n·n·n＝________．
－
－
0nn－1n－kn0
解：原式＝Cn·2·(－1)0＋C1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ck＋…＋(－1)n·Cn·2＝(2－1)nn2n2
＝1．
答案：1
二项式系数与项的 系数问题 12x－x?6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； [典例] (1)求二项式???1
x－x?9的展开式中x3的系数． (2)求???[解] (1)由已知得二项展开式的通项为
3r6－r?1?r6－rrr
－Tr＋1＝Cr(2x)·＝2C·(－1)·x3－， 66?x?29
∴T6＝－12·x－．
2
5
∴第6项的二项式系数为C6＝6，
第6项的系数为C5(－1)5·2＝－12． 6·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则
9－r?1?rr9－2r
－＝(－1)r·Tr＋1＝Cr·Cx， 9x9·?x?
令9－2r＝3，得r＝3，
3
即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C9＝－84．
[一题多变]
1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．
36－r解：由通项Tr＋1＝(－1)r·Cr·2·x3－r， 6
2知第四项的二项式系数为C36＝20， 第四项的系数为C3(－1)3·23＝－160． 6·
2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解． 解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则 Tr＋1＝(－1)r·Crx9－2r， 9·令9－2r＝5，得r＝2．
即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36．
求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．
与展开式中的特 题点一：求展开式中的特定项 1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( ) A．－15x4 C．－20ix4
B．15x4 D．20ix4
定项有关的问题 6－rr解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cri，由6－r＝4得r＝2． 6x424故T3＝C26xi＝－15x．故选A．
3
2．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是________． 解析：(1＋2x)(1－x)的展开式的通项为2
3
3
5r
ss
Cr3(－1)C5x
3r＋2s
(其中r＝0,1,2,3；s＝6
??3r＋2s?r＝0，?r＝2，
0,1,2,3,4,5)，令＝1，得3r＋2s＝6，所以?或?所以x的系数是－C35＋6
?s＝3?s＝0.??
4C23＝2．
答案：2
题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题
?2
3．(山东高考)若ax＋
?
1?5
的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________． x?
55?1?r＝Cr·5－r
x10－r．令10－r＝5，解得r＝2．又展开式5a22?x?
解析：Tr＋1＝Cr(ax2)5－r5·
中x5的系数为－80，则有C2a3＝－80，解得a＝－2． 5·
答案：－2
求展开式中特定项的方法
求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
层级一 学业水平达标
1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( ) A．9 C．11
B．10 D．8
解析：选C ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11．故选C．
2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为( ) A．－210 C．－120i
B．210 D．－210i
解析：选A 由通项公式得T7＝C6(－i)6＝－C610·10＝－210． 1
x－x?7的展开式的第4项等于5，则x等于( ) 3．已知???1
A． 7
1
B．－
7