C．7 D．－7
14?1?3
解析：选B T4＝C37x－x＝5，∴x＝－． ??7
2
x－?n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( ) 4．若二项式?x??A．6 C．12 解析：选C
∵T5＝C4n(
B．10 D．15
2
x)n－4·－x4＝24·C4nx
?
???n－12n－12
是常数项，∴＝0，∴n＝12． 22
1
x－2y?5的展开式中x2y3的系数是( ) 5．(湖南高考)??2?A．－20 C．5
B．－5 D．20
32323?1?2
解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C35?2x?(－2y)＝－20xy，故xy
的系数为－20，选A．
6．(全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______．(用数字填写答案) r5－r解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr(x)r＝25－r·Crx5－． 5(2x)5·2r
令5－＝3，得r＝4．
2
4
故x3的系数为25－4·C45＝2C5＝10．
答案：10
7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．
1
???T2＞T1，?C62x＞1，11
解析：由?得?解得＜x＜．
125122
???T2＞T3，?C62x＞C6?2x?.
11?
答案：??12，5?
8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字填写答案)
10－rr37解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cra，当10－r＝7时，r＝3，T4＝C310x10ax，
13
则C3a＝15，故a＝． 10
2
1
答案：
2
?9．若二项式x－
?
a?6
(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求ax?
的值．
6－r?－解：∵Tr＋1＝Cr6x
?
a?r3r
＝(－a)rCr6x6－， 2x?
3r
令6－＝3，则r＝2，得A＝C2a2＝15a2； 6·23r
令6－＝0，则r＝4，得B＝C4a4＝15a4． 6·2由B＝4A可得a2＝4，又a＞0， 所以a＝2．
10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*．
??m＝1 ，∴???n＝18，
???m＝2，?m＝18，
?…，? ???n＝17，?n＝1.
19?2323121222?m－x2的系数C2＋C＝(m－m)＋(n－n)＝m－19m＋171＝mn2?＋4． ?22∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，
7
此时x7的系数为C79＋C10＝156．
层级二 应试能力达标
1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( ) A．－297 C．297
B．－252 D．207
解析：选D x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
2∴其系数为C510＋C10(－1)＝207．
1?n?3x＋2．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
xx??A．4 C．6 解析：选B
B．5 D．7
n－r由二项式定理得，Tr＋1＝Crn(3x)
?1?r＝Cr3n－rxn－5r，令n－5r＝0，
n
22?xx?
当r＝2时，n＝5，此时n最小．
3．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( )
A．6 C．8
B．7 D．9
解析：选B 二项式(1＋3x)n的展开式的通项是
n－r
Tr＋1＝Cr·(3x)r＝Cr3r·xr．依题意得 n1n·
C535＝C636，即n·n·
n?n－1??n－2??n－3??n－4?
5！
n?n－1??n－2??n－3??n－4??n－5?＝3×(n≥6)，得n＝7．
6！
1
x2－x?n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( ) 4．在???A．3 C．5
B．4 D．6
2n－r?1?r2n－3r
解析：选D 通项Tr＋1＝Cr(x)?－x?＝(－1)rCr，常数项是15，则2n＝3r，nnx
且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D．
2
x－?7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答) 5．x??x?2
x－?7展开式中x3的系数， 解析：x4的系数，即??x?
7－r?2?rr7－2r
－x＝(－2)r·Tr＋1＝Cr·x·Cx， 77·??
令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C27＝84． 答案：84
?31?
6．在?2x－?20的展开式中，系数是有理数的项数为________．
?2?
3解析：Tr＋1＝Cr20(
2x)
20－r
3?－1?r＝?－2?r·
(2)20－rCrx20－r．∵系数为有理数，∴(2)r20·?2??2?
20－r
与2均为有理数，
3
∴r能被2整除，且20－k能被3整除． 故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20, ∴r＝2,8,14,20． 答案：4
1
2x＋?n的展开式中第m项的系数为bm． 7．记?x??(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n．
1
2x＋?n的展开式中第m项为 解：(1)?x??
m－1n＋2－2mn＋1－mm－1?1?m－1＝2n＋1－m·－1·Cm(2x)n－m＋1·C·x，所以b＝2·C． nnmn
?x?1
2x＋x?n的展开式的通项为 (2)当n＝6时，????1?r＝26－r·Tr＋1＝Cr(2x)6－r·Crx6－2r． 6·6·?x?依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C36＝160． (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C22n－3·C3n＝2·n，
3
从而C2n＝Cn，即n＝5．
8．求证：1＋2＋22＋…＋25n1(n∈N*)能被31整除．
－
证明：∵1＋2＋2＋…＋2
2
5n－1
25n－1
＝ 2－1
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
n－1·＝C031n＋C131n－1＋…＋Cn31＋Cn－1 n·n·n
－1)，－1为整数，＝31(C031n－1＋C131n－2＋…＋Cn显然C031n－1＋C131n－2＋…＋Cn∴n·n·nn·n·n
原式能被31整除．