专题讲座9-全同粒子
全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态. 波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态. 交换力
假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于?a(x),另一个处于?b(x)态.(简单起见,先不考虑自旋)
如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于?a(x),粒子2处于?b(x)态,那么体系的波函数为 ?(x1,x2)??a(x1)?b(x2) 如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的
1??(x1,x2)???a(x1)?b(x2)??a(x2)?b(x1)?
2如果两个态相同 a?b
?(x1,x2)??a(x1)?a(x2) 对于费米子, 波函数必须是反对称的
1??(x1,x2)???a(x1)?b(x2)??a(x2)?b(x1)?
2两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零. 我们来求两个粒子坐标差平方的期待值
(x1?x2)2?x21?x22?2x1x2
21. 可区分粒子
xx2122??x?a(x1)dx1??b(x2)dx2??x?a(x1)dx1?x22222222212221a???a(x1)dx1?x?b(x2)dx2??x?b(x2)dx2?x222abx1x2??x1?a(x1)dx1?x2?b(x2)dx2?xxb
所以
2(x?x)12
d?x2a?x2b?2xaxb
2. 对全同粒子
x21122??x1?a(x1)?b(x2)??a(x2)?b(x1)dx1dx22
1?2?x2a?x2b?
同样有
其中
显然有：
同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项
和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。注意到：除非两个波函数有重叠（如果?a(x)为零，?b(x)不为零，方程5.20的积分将为零。），否则?x?ab将会消失。所以，如果
?a表示一个身处北京的电子，?b表示另一个呆在郑州的电子，你是
否将波函数反对称化，都不会产生什么影响。因此，为了便于实际操作，我们不妨认为波函数没有重叠部分的电子是可分辨的。
当波函数出现一定程度的重叠时将会出现一些有趣的现象。整个系统好像受到外力的作用：对全同波色子，这个力是吸引力，把粒子拉近；对全同费米子，这个力是排斥力，让粒子相互远离（再次提醒一下，我们此时的讨论都是不计及自旋的）。我们把这个力称为交换力，虽然事实上并不存在这样的一个力（因为并没有任何施力物存在并作用于粒子）；它仅仅是对称性要求导致的一个几何结果。它也是一个严格的量子力学的现象，在经典力学当中并没有对应。然而，它却导致了一些意义深远的结果。比如：氢分子（H2）。粗略来说，它的基态由一个处于原子基态且以原子核1为中心的电子和一个同样处于原子基态但以原子核2为中心的电子组成。如果电子是波色子，对称性要求（或者说“交换力”）将趋向于聚拢电子到两质子连线的中心位置,而这种负电荷的积累将导致质子受到向内的吸引力，这正是共价键的来源。可惜的是，电子并不是波色子，它们是费米子，这就意味着在现实中，负电荷不是向中间聚集而是向外分散开来，进而导致分子被撕裂。
(a) 对称结构产生吸引力。(b) 反对称结构产生排斥力。
但是如果考虑到自旋, 完整的电子状态不仅包含它的空间位置波
函数，还包括一个用来描述电子自旋状态的自旋波函数：
?(r)?(s).
当我们把它们都考虑在内时，系统的状态就不仅是空间部分了。整个波函数应满足交换反对称。
两个电子的自旋的叠加, 可以得到总自旋为0的自旋单态和总自旋为1的自旋三态. 自旋单态是反对称的（因此空间波函数是对称的,从而总波函数是反对称的），而自旋三态为对称态（因此空间波函数是反对称的,从而总波函数是反对称的）。很显然，自旋单态为成键态，自旋三态为反成键态。这样，我们就可以理解为什么共价键要求两个电子占据总自旋为零的自旋单态。
例题1 设有两个无相互作用的电子处于一维无限深势阱中, 若两个粒子都处于基态, 能级的简倂度为多少? 若一个处于基态,另一个处于第一激发态,能级的简倂度为多少? 解: 若n?m对称与反对称的空间波函数为
1??n(x1)?m(x2)??m(x1)?n(x2)? ??(x1,x2)?2若
n?m则只有对称的空间波函数.
?(x1,x2)??n(x1)?n(x2) 总自旋波函数为 自旋单态(反对称的)
1???(s1z)??(s2z)???(s1z)??(s2z)? ?A?2自旋三态(对称的)