第4讲 万有引力与航天
板块三限时规范特训
时间：45分钟
满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～5为单选，6～10为多选)
1．[2017·漳州八校联考]我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息。若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2。已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则( )
A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为
G1G2
G1R22
B．地球的质量与月球的质量之比为2
G2R1
C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为答案 D
解析 质量是物体本身的属性，不因位置改变而发生变化，故A错误。“玉兔号”月球车在地球表面有G1＝
G2G1
G1R1
G2R2
GM地mGM月mM地G1R2g1G11
＝2，故B错误。因G1＝mg1，G2＝mg2，所以＝，故C错误。第一2，在月球表面有G2＝2，所以
R1R2M月G2R2g2G2
宇宙速度v＝GMv1
，所以＝Rv2M地R2
·＝M月R1G1R2R21
2·＝G2R2R1G1R1
，故D正确。 G2R2
2．[2017·河南许昌模拟]我国卫星移动通信系统首发星，被誉为中国版海事卫星的天通一号01星，在2016年8月6日在西昌卫星发射中心顺利升空并进入距离地球约36000 km的地球同步轨道，这标志着我国迈入卫星移动通信的“手机时代”。根据这一信息以及必要的常识，尚不能确定该卫星的( ) A．质量 C．运行速率 答案 A
解析 由题意可知，不能求出卫星的质量，故A符合题意；卫星进入距离地球约36000 km的地球同步轨道，
B．轨道半径 D．运行周期
GMm可知其周期是24 h，由R＋hm·4π2R＋hGMm，以及2＝mg，其中M表示地球的质量，R表示地球的2＝2
TR2
半径，g是地球表面的重力加速度，一般取9.8 m/s，联立可求出该卫星的轨道半径，故B、D不符合题意；2πr卫星的速率v＝，结合B、D中的半径与周期即可求出速率，故C不符合题意。
T3．[2017·黄冈中学模拟]已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为( ) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 答案 B
v2
解析 根据mg＝m得，第一宇宙速度v＝gR。因为该星球和地球的第一宇宙速度相同，表面的重力加速度
RMmgR2
为地球表面重力加速度的一半，则星球的半径是地球半径的2倍。根据G2＝mg得，M＝，知星球的质量是RG地球质量的2倍。根据ρ＝＝知，星球的平均密度与地球平均密度的比值为1∶4，故B正确，A、C、D
V43
πR3
1
MM错误。
4．[2017·山东省日照模拟]2014年3月8日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持。特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术。如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图。“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是( )
A．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等且为g
B．如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其加速 πrC．卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为
3R答案 C
Rrr gD．若“高分一号”所在高度处有稀薄气体，则运行一段时间后，机械能会增大
GMmGMmGMR22
解析 对地球表面上的物体有2＝mg?gR＝GM，对于卫星G1、G3有2＝ma?a＝2＝g2，A错误；如对“高
Rrrr分一号”加速，则卫星将到更高的轨道上运动，脱离原轨道，此法不可取，B错误；对于卫星G1来讲有
GMm＝r2
?2π?m??2r?T＝?T?
4πr23
GM2πr＝
Rr1πr，卫星G1由A到B用时为t＝T＝g63Rr，C正确；“高分一号”卫星由g于气体的阻力，高度会降低，速度会增大，但因阻力做负功，机械能要减小，D错误。故选C。
5．[2018·郑州期末测试]据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器。探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是( ) A．g′∶g＝4∶1 C．v′∶v＝答案 C
43ρ火πR火
34M火5153
解析 由于球体质量M＝ρπR，所以火星质量与地球质量之比＝＝×＝。由于v＝3M地437856
ρ地πR地
3
B．g′∶g＝10∶7 D．v′∶v＝
5 14
5 28
GM地
，R地
2
v′＝
＝
GM火v，所以＝R火v′M地R火
＝M火R地561×＝5228GMmg′M火R地54，故C正确，D错误。由于mg＝2，则＝＝×5RgM地R2561火
2
5
，故A、B错误。 14
6. [2017·江西宜春联考]经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为l，质量之比为m1∶m2＝2∶3，下列说法中正确的是( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2 2lC．m1做圆周运动的半径为 52lD．m2做圆周运动的半径为 5答案 AD
解析 双星相互间的万有引力提供向心力，角速度相等，故B错误；根据v＝rω知，线速度之比为3∶2，故A正确；根据
Gm1m2Gm1m222
2＝m1r1ω，2＝m2r2ω知，m1r1＝m2r2，得r1∶r2＝m2∶m1＝3∶2，则m1做圆周运动的半径为ll32
l，m2做圆周运动的半径为l，故C错误，D正确。 55
7．[2018·江西联考]“轨道康复者”是“垃圾”卫星的救星，被称为“太空110”，它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命，假设“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，其运动方向与地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合，下列说法正确的是( ) A．“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍 B．“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍 C．站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向西运动
D．“轨道康复者”可在高轨道上加速，以实现对低轨道上卫星的拯救 答案 AB 解析 根据
GMmGM2＝ma得：a＝2，因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为地球同步卫星轨rrGMmv2
道半径的五分之一，则“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍，故A正确。根据2＝m得：
rrv＝
GM，因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，r则“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍，故B正确。因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运
3
动的周期小于同步卫星的周期，则小于地球自转的周期，所以“轨道康复者”的角速度大于地球自转的角速度，站在赤道上的人用仪器观察到“轨道康复者”向东运动，故C错误。“轨道康复者”要在原轨道上减速，做近心运动，才能“拯救”更低轨道上的卫星，故D错误。
8. [2017·四川成都一诊]天舟一号货运飞船于2017年4月27日与天宫二号成功实施自动交会对接。天舟一号发射过程为变轨发射，示意图如图所示，其中1为近地圆轨道，2为椭圆变轨轨道，3为天宫二号所在轨道，
P为1、2轨道的交点，以下说法正确的是( )
A．天舟一号在1轨道运行时的动能大于其在3轨道运行时的动能 B．天舟一号在1轨道运行时的机械能大于其在2轨道运行时的机械能 C．天舟一号在2轨道运行时的机械能小于其在3轨道运行时的机械能
D．天舟一号在1轨道运行时经过P点的动能大于其在2轨道运行时经过P点的动能 答案 AC
Mmv2
解析 万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G2＝m，得v＝rrGM12GMm，卫星的动能Ek＝mv＝，天舟一r22r号在1轨道运行时的轨道半径小于其在3轨道运行时的轨道半径，天舟一号在1轨道运行时的动能大于其在3轨道运行时的动能，故A正确；天舟一号由轨道1变轨到轨道2时要加速，加速过程机械能增加，因此天舟一号在1轨道运行时的机械能小于其在2轨道运行时的机械能，故B错误；天舟一号由轨道2变轨到轨道3时要加速，加速过程机械能增加，因此天舟一号在2轨道运行时的机械能小于其在3轨道运行时的机械能，故C正确；天舟一号由轨道1变轨到轨道2时要加速，天舟一号在1轨道运行时经过P点的动能小于其在2轨道运行时经过P点的动能，故D错误。
9．[2017·山东烟台一模]一个质量为m1的人造地球卫星在高空做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻和一1
个质量为m2的太空碎片发生迎头正碰，碰后二者结合成一个整体，速度大小变为卫星原来速度的，并开始沿
n椭圆轨道运动，轨道的远地点为碰撞点。若碰后卫星的内部装置仍能有效运转，当整体再次通过远地点时通过极短时间的遥控发动机点火可使整体仍在卫星碰前的轨道上做圆周运动，绕行方向与碰前相同。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则下列说法正确的是( )
gR2A．卫星与碎片碰撞前的线速度大小为
r2πrB．卫星与碎片碰撞前运行的周期大小为
Rr gC．发动机对卫星和碎片整体所做的功为
n－
m1＋m2gR2
nrD．发动机对卫星和碎片整体所做的功为
4
n2－
m1＋m2gR2
2
2nr答案 BD
Mm1v22
解析 卫星受的万有引力充当向心力，故碰撞前有G2＝m1，结合黄金代换GM＝gR可得，卫星碰撞前的线
rr速度大小为v＝
2
gR2Mm14π
，A错误；根据公式G2＝m12r，解得T＝2π rrTr32πr＝GMRr，B正确；当再次回g到碰撞点，要使两者回到原来轨道运动，速度必须满足v＝
gR21
，故根据能量守恒定律可得W＋·(m1＋r2
?1
m2)·? ?ngR2?21??＝2·(m1＋m2)?r??n2－gR2?2
?，解得W＝r?
m1＋m2gR2
，故C错误，D正确。 22nr10. [2015·天津高考]P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r的反比关系，它们左端点横坐标相同。则( )
2
A．P1的平均密度比P2的大 B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小 C．s1的向心加速度比s2的大 D．s1的公转周期比s2的大 答案 AC
解析 题图中两条曲线的左端点对应的横坐标相同，表明两颗行星的半径相同，由万有引力提供向心力可得，
MmGMG2＝ma，a＝2，由题图可知，P1的质量大，因此P1的平均密度大，A项正确；第一宇宙速度v＝rrGMrMmrGM，因R此质量大的行星第一宇宙速度大，B项错误；由a＝2可知，s1的向心加速度大，C项正确；由G2＝mr?得T＝2π
?2π?2
??T?
r3，因此同一高度处，质量大的行星的卫星公转周期小，D项错误。 GM二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．[2017·云南质量检测二](10分)宇航员到达某星球后，试图通过相关测量估测该星球的半径。他在该星球上取得一矿石，测得其质量为m0，体积为V0，重力为W，若所取矿石密度等于该星球的平均密度，引力常量43
为G，该星球视为球形，请用以上物理量推导该星球半径的表达式。(球体体积公式为V＝πR，式中R为球
3体半径) 3WV0
答案 R＝2 4πGm0
5
解析 设矿石的密度为ρ0，由题意易知ρ0＝ 该星球表面的重力加速度为g＝ 在该星球表面，万有引力等于重力G该星球的平均密度为ρ＝ 43
据题意：ρ＝ρ0，V＝πR
33WV0
联立以上各式解得：R＝2。
4πGm0
12．[2016·江南十校联考](20分)探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处，通过变速，再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”上绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测，“工作轨道”周期为T，距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。
m0
V0
Wm0
Mm0
＝m0g R2MV (1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增 大速度还是减小速度？
(2)求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小； (3)求月球的第一宇宙速度。 答案 (1)应减小速度 (2)2π(3)2π
R＋h TR＋hTR＋h RR＋h。 T解析 (1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度做近心运动。 2π
(2)根据线速度与轨道半径和周期的关系可知探月卫星线速度的大小为v＝
(3)设月球的质量为M，探月卫星的质量为m，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，所
Mm以有：GR＋h4π
2＝m(R＋h)2。月球的第一宇宙速度v1等于“近月卫星”的环绕速度，设“近月卫星”的
2
TMm′v22π1
质量为m′，则有：G2＝m′。由以上两式解得：v1＝
RRR＋hTR＋h。 R
6