段的大小。
1.47. 求一维箱中粒子坐标x的平均值x。（积分公式?xcosxdx?cosx?xsinx）。 1.48. 求一维箱中粒子坐标的平方x2的平均值。
（积分公式?x2cosxdx?2xcosx?(x2?2)sinx）
??1.49. 一维箱中粒子的动量P有无确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平
均值。
1.50. 一维箱中粒子动量的平方P2有无确定值，若有，求其确定值；若没有，求
其平均值。
????1.51. 求一维箱中粒子的动量P的大小，即其绝对值P。
1.52. 正方体箱中的粒子处于状态?211和?321时，其几率密度最大处的坐标是什
么？若不考虑边界，各有几个节面，表示这些节面的方程是什么，这些节面将整个正方体箱分成几个部分？你能不能不用计算而直接得出这些答案。
1.53. 写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的第3个能级的能量、
波函数和简并度。
5h21.54. 写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的E?的能级和
2ma2状态数。
27h21.55. 正方体箱中的粒子的能级E?的简并度是多少？
8ma21.56. 一质量为m的粒子，在长为a的立方箱中运动，求其第4和第6个能级的
能量和简并度。
1.57. 一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求其第二和第三能级
的简并度。
6
21h21.58. 一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求能级E?的简28ma并度。
1.59. 试求函数??e??x在?等于什么值时是线性谐振子的本征函数，本征值是
多少？
1.60. 一个质量为45 g的弹簧振子，以频率为2.4 s-1，振幅为4.0 cm在振动。求
(a)此振子的力常数；(b) 如果这一振子可以用量子力学处理，其量子数?是多少？ 1.61. 处于状态??Ne1??x222?1mK（N?()4，??）的谐振子，其动量px有无
??确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
1.62. 下列方程组是否有解？是否有非零解？若有非零解，给出其任意两组非零
解
?2x?4y?0(1) ? (2)
?3x?y?02?2x?3y?0 ??4x?6y?01.63. 取变分函数??e??x，式中?为变分参数，试用变分法求一维谐振子的基
?态能量和波函数。(积分公式:?xe02n?ax2dx?1?3?5?(2n?1)2n?1an?a)
7
题 解
1.1. 给出黑体辐射频率分布函数R(?,T)的单位。
解: 黑体辐射的频率分布函数R(?,T)表示黑体辐射的频率分布，R(?,T)d?表示在温度T单位时间内由单位黑体表面积上所发射的频率在?~??d?间的辐射能量。
R(?) s?1?J?m?2?s?1
R(?) ?J?m?2
J?m?2?J?m?2?s?w?m-2 ?s s式中w是功率.
1.2. 分别计算红光?=600 nm和X射线?=100 pm的1个光子的能量、动量和质
量。 解：??c? ，E?h?，p?h?，m?h? c2(1) 波长?1=600 nm的红光，
E1?h?1?6.626?10?343?108m?s?1?19J?s??3.313?10J ?9600?10m6.626?10?34J?s?27?1 p1???1.104?10kg?m?s?9?1600?10mhh?13.313?10?19J?36m1?2??3.681?10kg 8?12c(3?10m?s) （2）X射线?2=100 pm
E2?h?2?6.626?10?343?108m?s?1?15J?s??1.988?10J ?12100?10m 8
6.626?10?34J?s?24?1 p2???6.626?10kg?m?s?12?2100?10mhh?21.988?10?15J?32m2?2??2.209?10kg 8?12c(3?10m?s)1.3. 计算波长?=400nm的光照射到金属铯上所产生的光电子的初速度。已知铯
的临阈波长为600nm 解：根据T?h??W
其中，T?1me?2, W?h?0 21me?2?h??h?0 2??2(h??h?0)2hc11?(?)meme??02?6.626?10?34?3?10811 ?(?) ?31?9?99.110?10400?10600?10 ?6.030?105(m?s?1)1.4. 氢原子光谱中巴尔麦系中波长最长的一条谱线的波数、波长和频率各是多
少？波长最短的一条呢？
解：氢原子光谱中巴尔麦系谱线的波数可表达为
~?R(?1~1?) n?3, 4,? 22n2??1.097?105 cm-1,称为Rydberg常数。 其中Rn=3对应波长最长的一条谱线,
?(??1?R11115?) ?1.097?10?(?)?1.524?104 cm?1222349
?1?1?6.562?10?5 cm?656.2 pm??1?1???1c?(1.524?106m?1)?(3?108m?s?1)?4.572?1014 s?1n=?对应波长最长的一条谱线,
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?(??2?R ?2?1115?) ?1.097?10??2.743?104 cm?222?411?3.646?10?5 cm?364.6 nm??2
?2???2c?(2.743?106 cm?1)?(3?108 m?s?1)?8.229?1014 s?11.5. 求氢原子光谱中赖曼系第3条谱线的波数、波长和频率。
1~1~?R(2?2) n?2, 3, 4? 解：?1n n=4为第三条谱线
???1.097?105cm-1?(1?1)?1.028?105 cm-1 16??9.728?10?6 cm?972.8 nm?c?(1.028?107 m-1)?(3?108s-1)?3.084?1015 s-1 ???1.6. 氢原子光谱中赖曼系、巴尔麦系和帕邢系的谱线能否互相穿插，为什么 答：不能。
?(1?1), n?2, 3, 4? ??R赖曼系:?12n2?，?，波数最短的一条谱线(n?2)是3R波数最长的一条谱线(n??)是R43??108??,R]，即[R,R]。 所以赖曼系的波数范围在区间[R4144?(1?1) , n?3, 4, 5?）的波数范围在区间??R同理，巴尔麦系（?22n2[5?1?20?36??(1?1), n?4, 5, 6?）的波??RR,R]，即[R,R]；帕邢系（?36414414432n27?1?7?16?R,R]，即[R,R]。 数范围在区间[1449144144由此可知，氢原子光谱中三个谱系的谱线出现在不同的波数范围，不能相互穿插。
1.7. 在氢原子光谱的各线系中，相邻两谱线间的距离是等间隔、还是朝着短波
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