的方向递减或递增？
~??~??~，随??之增加而减小。 答：??n?1n以赖曼系为例予以说明
?(???R11?2), n?2, 3, 4? 21n??1111RR???n???n??R(2???)?R(2??)??1??n1(n?12)1n2n2n?(
1?2n?1?R?(2? ? R)222n2(n?1)nn(?1)n2n?(1)12)
?n朝着??n增加（短波）的我们看到，随着n的增大，相邻两谱线间的间距??方向在减小。这是由于随着n的增大，能级间隔在减小的原因。 1.8. 求波长为0.1 nm的电子和中子的动量和动能。
?34 J?s解：电子：p?h?6.626?10?6.626?10?24 kg?m?s?1
?0.1?10?9 m 电子质量me?9.110?10?31kg
p2(6.626?10?24)2?17T???2.410?10 J ?312me2?9.110?106.626?10?34 J?s?24?1?6.626?10 kg?m?s 中子： p?? ?9?0.1?10 mh中子质量mn?1.675?10?27kg
p2(6.626?10?24)2T???1.311?10?20 J ?272mn2?1.675?101.9. 求下列粒子的德布罗意波长：
(4) 能量为100 eV的自由电子; (5) 能量为0.1 eV的自由中子; (6) 能量为0.1 eV，质量为1g的粒子。
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hh6.626?10?34解：（1）??? ??31?19p2meT2?9.110?10?100?1.602?10 ?1.226?10?10 m?122.6 pm
（2）??6.626?10?342?1.675?10?27?0.1?1.602?10?19 ?9.045?10?11 m?90.45 pm
（3）??6.626?10?342?1.0?10?0.1?1.602?10?3?19 ?1.171?10?22 m?1.171?10?10 pm
1.10. 用速度? ?1?109cm?s?1的电子进行衍射试验，若所用晶体粉末的面间距离
为242 pm，晶体粉末离底板距离为2.5 cm，求第2条和第3条衍射环纹的半径。 解：根据公式 2dsinαr?nλ 和 tg??进行计算 2l其中d为晶体粉末的面间距；λ为电子的波长；?为衍射角；n为衍射级次，
n?1， 2， 3，?；r为衍射环纹的半径，l为晶体粉末离底板的距离。
n=2时：
α?h6.626?10?34 sin????0.3006 ?319?2?122dme?d（9.110?10）?（1?10?10）?（242?10）??34.99?
r?l?tg??2.5?0.6999?1.750 cm
n=3时：
α3h3?6.626?10?34 sin???0.4508
22me?d2?（9.110?10?31）?（1?109?10?2）?（242?10?12）??53.59?
r?l?tg??2.5?1.356?3.390 cm
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1.11. 一个运动速度为?的自由粒子，有人作了如下推导：
m?apbhch?dEe???1m?2
1得出1=的错误结论，试问其推导过程中哪些过程是错误的。
2答：过程c和e有误。 c中引入???是错误的，这里的?是振动的传播速度，而非粒子的运动速度，?而开始的m?中的?为粒子运动速度。
11e中引入E?m?2是错误的，这里E不是动能，因此，E?mv2。
221.12. 测不准关系限制我们同时测定粒子的动量和坐标，但为什么经典的物体不
受限制呢？计算一个在一球拍上10-6 m范围内的质量为500 g的球的速度的最小不确定程度是多少？一个质量为5 g，速度在35.00001至35.00000 ms-1的物体，其位置的不确定程度是多少？由此可知为什么经典物理不受测不准原理的限制。
1解： ?x??p??
2 因????p， ?p?m??? m? 2m ?x?????h6.626?10?34???1.055?10?28(m?s?1) ????62m?x4?m?x4?3.1416?0.5?10 由此看到，??是如此之小，可以忽略不计。
?h6.626?10?34?27???1.055?10(m) ?x??3?52m??4?m??4?3.1416?5?10?10 由此看到，??也是如此之小，也可以忽略不计。
13
m?s?1运动，其质量增加多1.13. 一个静止质量为1000g的物体，以速度??3000少克？若速度为3?105 ms-1，3?107 ms-1，1?108 ms-1，1.5?108 ms-1其质量分别增加多少克？ 解：m?m0，m0?1000 g
?1?()2c m?s时，m? （1）当??3000 ?m?5?10?8g
?110001?10?10?1000.00000005 g
（2）??3?10ms时，?m?5?10?4g
5 -1
g （3）??3?10ms时，?m?5.0378（4）??1?10ms时，?m?60.66 g (5) ??1.5?10ms时, ?m?154.70 g 我们看到，随着?的增加，?m迅速增大。
8
-1
8
-1
7 -1
1.14. 1000 kg水由0℃升到100℃，其质量有何变化？是否需要考虑其质量的变
化？
解: 1000 kg水由0℃升高到100℃吸收热量：
Q?1000?103g?1 cal?g-1?(100?0)?1?107 cal 1 cal=4.184 J
Q?4.18? J4710 E?mc2
E4.184?107?9?7 m?2??0.465?10 kg?5?10g 82c(3?10) 由此可见，质量变化非常小，因此不需要考虑质量的变化。
?是线性算符，则aF?和F?也是线性算符。式中a，b?和G?+bG?G1.15. 证明如果F
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为常数。
?是线性算符，则有： ?和G证明：(1) 如果F?(u?u)?F?u?F?u F （1） 1212?(u?u)?aF?u?aF?u （2） aF1212?(u?u)?G?u?G?u （3） G1212?(u?u)?bG?u?bG?u （4） bG1212（2）+（4）得：
?(u?u)?aF?u?bG?u ?(u?u)?bG?u?aF?u?bGaF12121212?)(u?u)?(aF?)u?(aF?)u ??bG??bG??bG(aF1212?是线性算符。 ?+bG所以aF?(u?u)?F?u?G?u)?F?u?F?u ?G?(G?G?G (2) F121212?也是线性算符。 ?G 所以F??G?F?是厄米算符，则F?和F?和G?+G?G?也是厄米算符。 1.16. 证明若F?是厄米算符，则有： ?和G证明：若F?u(F?G)vd???u(Fv?Gv)d???u?*?*??*??*Fvd???uGvd??*? ??(Fu)vd???(Gu)*vd? ??[(F?G)u]*vd??
?是厄米算符。 ?+G 所以，F*???F?)vd??u*(G?)vd??u*(F?G?)vd? u(FG?G????F?vd??(G?u)*F?u)*G?vd? ??(F??F?u)*vd? ?u)*vd??(F?G=(G?? 15