2012华约自主招生数学题及解答
1010?1：已知实数xi∈[?6,10]，且?xi=50，i=1,2,3,?,10，当?xi2取得最大值时，在x1,x2,?,x10
i?1i?1这十个数中等于?6的数共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10解：依题意，欲使?xi2取得最大值，必须这10个数的绝对值较大，还必须有正有负，7
i?1个10，3个?6大于50，则为6个10，3个?6，1个8。 选C ?2：已知数列{an}的通项公式an=lg?(1+则limSn等于_______。
n??2n2+3n
)，n=1,2,3,?，Sn是数列的前n项和，
解：an=lg 1+n2+3n =lg
5n+2?)] 6n+3
2
n+1 (n+2)
n(n+3)
=lg?(
n+1
n
?n+3)，∴Sn=lg?[(1?2?3?
n+2234
n+13
)(4n
?5?
4
=lg[(n+1)(
3n+3
)]=lg3(n+1)n+3
，∴limSn=limlg
n??n??3(n+1)n+3
=lg3。 填lg3
?3：在锐角?ABC中，已知A>B>C，则cosB的取值范围是（ ）
A.(0, ) B.[,) C.(0,1) D.(,1) 选A
2222
21
22解：∵2>A>??>??>0，又B+C>2，2B>2，∴B>4，则2>B>4，故cosB∈(0, )。
2?4：向量a ≠e ，|e |=1，若?t∈??，|a ?te |≥|a +e |，则（ ） A.a ⊥e B. a ⊥(a +e ) C. e ⊥(a +e ) D. a +e ⊥(a ?e )
解：|a ?te |≥|a +e |， 2+t2?2taa ?e ≥a 2+1+2a ?e ，∴t2?2ta ?e ?2a ?e ?1≥0恒成立， ∴?=4(a ?e )2+4(2a ?e +1)≤0，即(a ?e )2+2a ?e +1≤0，(a ?e +1)2≤0，则a ?e =?1。 ∴e ⊥ a +e =e ?a +1=0。 选C ?5：若复数ω+1的实部为0，Z是复平面上对应1+ω的点，则点Z(x,y)的轨迹是（ ） A.一条直线 B.一条线段 C.一个圆 D.一段圆弧 解：ω+1=
ω?1
ω+1?2ω+1ω?1
1
ππππππ2=1?ω+1，∴1+ω的实部为2，所以x=2；设ω=a+bi，则ω+1=a+1+bi为
1
1
1
b
b
2111ω?1a?1+bi
纯虚数，∴(a+1)(a?1)+b2=0，∴a2+b2=1；1+ω=a+1+bi=2+2+2ai，则y=2+2a； 由a2+b2=1，数形结合可知y=2+2a∈??，即
y=
b
x=2
b2+2a
1
∈??
，故轨迹为直线。 选A
A F D H E C
?6：已知锐角?ABC，BE垂直AC于E，CD垂直AB于D，BC=25， CE=7，BD=15，BE，CD交于H，连接DE，以DE为直径画圆， 与AC交于另一点F，则AF的长为（ ） A.8 B.9 C.10 D.11
1 / 3
B
解：Rt?BEC中，BE=24，Rt?BDC中，CD=20，又?ADC∽?AEB，∴AE=24=6，AD=∵∠BED=∠BDC，∴B，D，E，C四点共圆， ∴AD?AB=AE?AC，=
AC
AB
AEAD
AD205
5AE
，6
=5， AE+7=5，5AD+75=6AE+42，25AE=36AE?198，AE=18，
AD
AF
AD?AE
AB
6AD+156
AD=15；连接DF，则DF∥BE，∴AB=AE，AF==15+15=9。 选B
15×18
?7：椭圆长轴为4，左顶点在圆(x?4)2+(y?1)2=4上，左准线为y轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.[8,4] B.[4,2] C.[ 8,2] D.[ 2,4] 解：∵?a∈[2,6]，?2∈[2,6]，∴∈[4,8]，∈[2,4]，所以e∈[,]。 选B
e
e
e
e
42
a
2
2
1
11
11
11
11
13
?8：已知三棱锥S-ABC的底面ABC为正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是?SBC的垂心，二面角H-AB-C为30°，且SA=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A.2 B.2 C.4 D.4 解：如图引辅助线与平面，∵AH⊥SC，BN⊥SC，∴SC⊥面NAB， ∴SC⊥AB，取AB的中点M，则MC⊥AB，∴AB⊥面SMC， A ∴AB⊥SM，∴SA=SB=2；同理取BC中点K，有SK⊥BC，则SB=SC=2， M ∴三棱锥S-ABC为正三棱锥；又∠NCM=60°，由余弦定理得， SM2
=
31
3 33
S 2 N H O K C SC2+CM2?2SC?CM?cos∠NCM，设
1
34
AB=2a，∴4?a2
3
=4+3a2
B ?2 3a，∴2a= 3，
AO=3× 3=1，∴SO= 3，∴V=3××3× 3=4。 选D
?9：正四棱锥S-ABCD中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB与底面正方形ABCD的对角线AC所成的角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α，β，γ，θ之间的大小关系是（ ）
A.α<β<θ<γ B.α<β<γ<θ C.α<γ<β<θ D.β<α<γ<θ
解：显然α<β<90°=γ，而θ为钝角，∴α<β<γ<θ。 选B ?10：红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这个条件的不同排列方式共有（ ）
A.36种 B.60种 C.90种 D.120种
1C2种，选第二种并排进去有C1C2种，第三种排进去1解：车、马、炮选一种并排进去有C3624
212
C13C6C2C41212
种，所以有C3C6C2C4种，而选车、马、炮的顺序重复，故有排法C33
=90。 选C
?11：在?ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin2⑴求C的大小；
⑵若c2=2b2?2a2，求cos2A?cos2B的值。
A+B2
=1+cos2C。
解：⑴2cos22=1+cos2C，cosC=cos2C，∴2cos2C?cosC?1=0，∵cosC≠1，∴cosC=?2， 故C=3；
⑵c2=2b2?2a2，则sin2C=2sin2B?2sin2A，
2 / 3
1?cos2C
2
2π
C1
=1?cos2B?1+cos2A，
1
∴cos2A?cos2B=
1?cos2C
2
=
1+22
=。
4
3
? =2|PH |2。 ?12：已知两点A(?2,0)，B(2,0)，动点P在y轴上的射影为H，且满足 PAPB
⑴求动点P的轨迹C的方程；
⑵已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M，N，设MN的中点为R，过R与点Q(0,?2)作直线RQ，求直线RQ斜率的取值范围。
=(?2?x,?y)， =(2?x,?y)，|PH |2=x2，所以有x2+y2?4=2x2， 解：⑴设P(x,y)，则 PAPB
∴y2?x2=4为所求；
⑵设MN：y=k(x?2)代入y2?x2=4中得：(k2?1)x2?4k2x+4k2?4=0，
由?=16k4?16(k2?1)( k2?1)>0得k2>2，∴依题意
2则R(
x1+x2y1+y22
1
2,
21k
)，又
y1+y2x1+x2
1k
=，∴kRQ=
k
1
y1+y2+22x1+x22
=
y1+y2+4x1+x2
=
y1+y2x1+x2
+
4x1+x2
=+
k
14
4k2k2?1
=
k2+k?1k2
，
∴kRQ=?
1k
++1(1<< 2)，故k∈( 2?1，1)。 2
x22!
?13：已知函数fn x =1+x+
+3!+?+
x3xnn!
，n=1,2,3,?。
证明：当n为偶数时，方程fn x =0没有实数根，当n为奇数时，fn x =0有且只有一个实
数根xn，且xn+2 解： ?14：目前有n(n≥4)位乒乓球选手，他们相互进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加一次比赛，请写出n的所有可能值。 2=解：n个选手配队友，共有Cn n(n?1) 2 n(n?1)2 种，又参加一次比赛需两组，所以每组队友恰好只参加n(n?1)4 一次比赛的场数为 2 = n(n?1)4 ，设=k∈N?，所以n=4m或n=4m+1(m∈N?)。 ?15：系统内有2k?1(k∈???)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0 ⑵试讨论Pk的单调性，并讨论增加两个元件后能否提高系统的可靠性。 3 / 3