2
代数3（复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利）
求最佳常数c，使得对任意a1,a2,a3,a4?0，有
a1?a2?a3?a44?a1a2a3a4?cmax1?i?j?44??ai?aj??.
22解：注意到对于任意的x1,x2,x3,x4?0，有如下恒等式：
222x12?x2?x3?x4?4x1x2x3x4?(x1?x2)2?2?x1x2?x3x4??(x3?x4)2. (1)
2(xi?xj)2?，且x1x2?x1,x3x4?x4. 从而 不妨设x1?x2?x3?x4，则(x1?x4)?1max??i?j?4?x1x2?x3x4?2?(x1?x4)2. (2)
若x1?x4，则 (2) 式显然成立. 当x1?x4时，令L?x1?x4，则0?22x?xx1?x2?1,0?34?1. 从而 LL?x1?x2??x3?x4?x1?x2x3?x4L?(x2?x3)?1. ?L???L??L?L?L????因此(x1?x2)2?(x3?x4)2?L2?(x1?x4)2. 结合 (1), (2)两式，得
222x12?x2?x3?x4?4x1x2x3x4?3(x1?x4)2. (3)
令ai?xi2,i?1,2,3,4. 由 (3) 即得
a1?a2?a3?a443?a1a2a3a4?max441?i?j?4??a?iaj??.
2下面证明若结论成立，则c?.
a4?假设对a1?a2?a3?0，存在c?a1?a2?a31?,1a42?(nn?1)，则结论可重写为
3?12n2?1?c?1?1?. (4)
??4n?n?343使得结论成立. 则取4其中c?,n?1.
注意到当n??时，左边?，右边?c，矛盾！
34343
3c?故最佳常数为. 4
代数4（复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利）
将不小于2的正整数n表示为若干个正整数b1,b2,t,bt之和，即
t2n?b1?b2??bt，当t与b1,b2,,bt)?S.
,bt变化时，求S?2?ibi??bi的最小值.
i?1i?1解：定义f(t;b1,b2,设(t;b1,b2,,bt)使得S最小，则对任何i,j?{1,2,'?bk(k?i,j). bi'?bi?1,b'j?bj?1,bk,t}，i?j，令
考虑下面三种情况： 情形1若b'j?0，且i?j，则
'f(t?1;b1',b2,i?12kti?1,b'j?1,b'j?1,2,bt')k?i?1??b?2?kbk?(bi?1)?2i(bi?1)?k?1k?1?bj?12k?2?kbk
k?i?1j?1?k?j?1?b2k?2?(k?1)bk,k?j?1t而
f(t;b1,b2,i?12kti?1k?1k?1,bt)2ik?i?12b?2kb?b??kj?2jbj
2kk?i?1j?1j?1??b?2?kbk?b?2ibi??'由f(t?1;b1',b2,k?j?1?b2k?2?kbk,k?j?1t,b'j?1,b'j?1,,bt')?f(t;b1,b2,,bt)得，
； (bi?1)2?2i(bi?1)?bi2?2ibi?b2j?2jbj情形2若b'j?0，且i?j，则
'f(t?1;b1',b2,j?12kj?1,b'j?1,b'j?1,k?j?1,bi',i?1k?j?1,bt')??b?2?kbk?k?1k?1?bi?12k?2?(k?1)bk?(bi?1)2?2(i?1)(bi?1)
?
k?i?1?bt2k?2?(k?1)bk,k?i?1t4
而
f(t;b1,b2,j?12kj?1k?1k?1,bt)2jk?j?1??b?2?kbk?b?2jbj??'由f(t?1;b1',b2,?bi?12k?2?kbk?bi2?2ibi
k?j?1i?1k?i?1?bt2k?2?kbk,k?i?1t,b'j?1,b'j?1,,bt')?f(t;b1,b2,,bt)得，
； (bi?1)2?2(i?1)(bi?1)?bi2?2ibi?b2j?2jbj情形3若b'j?0，则由
'f(t;b1',b2,,bt')?f(t;b1,b2,,bt)
得(bi?1)2?2i(bi?1)?(bj?1)2?2j(bj?1)?bi2?2ibi?b2. j?2jbj上面的三种情形都表明，
, (bi?1)2?2i(bi?1)?(bj?1)2?2j(bj?1)?bi2?2ibi?b2j?2jbj即bi?i?1?bj?j.
由i,j的任意性得，bj?j?1?bi?i. 所以，当S取得最小值时，所有的bi?i(i?1,2,（若,t)至多可以取到两个不同值
恰取两个不同的值，则这两个不同值是两个相邻的正整数）. 由排序不等式，此时b1?b2??bt.
?bt?1且t?2，
f(t;b1,b2,,bt)?t2?2t?f(1;t).
若b1?1，则b1?b2?即可将(t;b1,b2,,bt)换成(1;t)，而S不变. 因此，不妨假设b1?2，则 f(t;b1,b2,,bt)?f(t?1;b1?1,b2,,bt,1)，
,t)的不同值组成的集
整理得，b1?1?t?2，又bt?t?t?1，故由bi?i(i?1,2,合为{t?1},{t?2},{t?1,t?2},{t,t?1}.
5
（1）当集合为{t?1}时，bi?t?1?i，n?t2t?1?8n?1t(t?1)，t?， 22t(t?1)(2t?1)，
6S??(bk?k)??k2?t(t?1)2?k?1k?11?8n?1m(m?1)m?令t?1?m，则n?，，上式可化为
22S?(2m?1)n?(m?1)m(m?1)；
3（2）当集合为{t?2}时，bi?t?2?i，n??3?8n?9t(t?3)，t?， 22t(t?1)(2t?1)，
6S??(bk?k)??k2?t(t?2)2?2k?1k?1tt?1?8n?9?1?8n?1?(m?1)(m?2)??令t?1?m，则n?，m??，上式可化为
222??S?(2m?1)n?(m?1)m(m?1)；
3（3）当集合为{t?1,t?2}时，设bi?i(i?1,2,,t)中，值为t?2的个数为
x?{1,2,,t?1}，值为t?1的个数为t?x，则t?2，且
?t2?t?2t2?3t?2?t(t?1)t(t?1)， n?x(t?2)?(t?x)(t?1)???x??,?2222???1?8n?1?)1m2?(m)14m????(m?(m?1)mm?,令t?1?m，则n??，，，x?n????2222????且
S??(bk?k)??k2?x(t?2)2?(t?x)(t?1)2?2k?1k?1ttt(t?1)(2t?1)6t(t?1)(2t?1)?t(t?1)2?(2t?3)x?6 (m?1)m?(m?1)m(2m?1)??(m?1)m2?(2m?1)?n???26??(m?1)m(m?1)?(2m?1)n?；36