（4）当集合为{t,t?1}时，设bi?i(i?1,2,,t)中，值为t?1的个数为
x?{1,2,,t?1}，值为t的个数为t?x，则t?2，且
?t2?t?2t2?t?2?t(t?1)t(t?1)， n?x(t?1)?(t?x)t???x??,?2222???1?8n?1?)1m2?(m)12m????(m?(m?1)mm?,令t?m，则n??，，，x?n????2222????且
S??(bk?k)??k2?x(t?1)2?(t?x)t2?2k?1k?1ttt(t?1)(2t?1)6t(t?1)(2t?1)?t3?(2t?1)x?6 (m?1)m?m(m?1)(2m?1)??m3?(2m?1)?n???26??(m?1)m(m?1)?(2m?1)n?.3(m?1)m(m?1)，
3综上，S?2?ibi??bi的最小值是(2m?1)n?2i?1i?1tt?1?8n?1?m?其中??.
2??
代数5（复旦附中李朝晖、施柯杰、肖恩利）
求最大的实数M，使得不等式(x2?y2)3?M(x3?y3)(xy?x?y)对一切满足
x?y?0的实数x,y均成立.
解：所求M的最大值为32.
首先，取x?y?4，可得M?32.下证：(x2?y2)3?32(x3?y3)(xy?x?y) 对一切满足x?y?0的实数x,y均成立.
记s?x2?y2，t?x?y. 已知2s?t，t?0.要证的不等式转化为：
2s3?8t(3s?t2)(t2?2t?s)
7
设s?rt，上述不等式等价于：r3?8(3r?t)(t?2?r)，其中2r?t?0，由
r3?8(3r?t)(t?2?r)?8(t?2r?1)2?r3?8r2?16r?8 ?r3?8r2?16r?r(r?4)2?0，
所以r3?8(3r?t)(t?2?r)，其中2r?t?0成立.
代数6（华东师大二附中唐立华）
A：设正数a,b,c满足：a2?b2?c2?3，求证：
abc???2. 4?a24?b24?c2证明: 先证如下引理
引理设正数a,b,c满足：a2?b2?c2?3，则
(a?b?c)2?9(111??)?18. (*) 2224?a4?b4?c引理证明: ?9?(a?b?c)2?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2,
9(111??)?9 2224?a4?b4?c111??)?9 4?a24?b24?c2?[(4?a2)?(4?b2)?(4?c2)](2?4?b24?a????2?4?a24?b???， ?????(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2. ??cab. ??2224?a4?b4?c222?4?b24?a故(*)????2?4?a24?b?
记I1?bca,I2???2224?a4?b4?c要证原不等式,只要证明:
?4?b24?a2??2?4?a24?b????(a?b)2 ??2(a2?b2)22222 ??(a?b)?(4?a)(4?b)?(a?b)22(4?a)(4?b)8
而(4?a2)(4?b2)?(1?b2?c2)(a2?1?c2)?(a?b?c2)?(a?b)2， 上式成立，故引理得证.
(a?b?c)21,y??下证原题：记x?，则由引理有：x?y?2. 94?a2由柯西不等式,有
?abc???22?4?a24?b4?c?2?111????(a?b?c)2????222? ?4?a4?b4?c???499?2x?y?y?32?9xy2?(2x)?y?y?????，
22?33?所以 故原不等式得证.
abc324????2， 22234?a4?b4?c3a2?b2?c2?3，注记：利用已证问题(见2015命题研讨会题目)：设正数a,b,c满足：有
b?c4?a2?c?a4?b2?a?b4?c2?23.
我们有如下：
B：设正数a,b,c满足：a2?b2?c2?3，求证：
(a?b?c)(14?a2?14?b2?14?c2)?2(1?3).
代数7（湖南师大附中张湘君）
设xi?R?,i?1,2,,n，试确定最小实数c，使得
c?xi?1nab?ni?(?xi)?(?xia)b.
i?1i?1nn分析：
由齐次，且xi?R?,i?1,2,,n，不妨设
?xi?1ni?1.
9
原不等式?c?(?xi)?(?x)i?1i?1nnabi?xi?1n?c?(?x)nabiab?ni?xi?1ni?1n，则只需求S?(?xia)bnab?ni?xi?1i?1n的最
ab?ni大值.
由幂平均不等式，(i?1?xnnabi)1ab?(i?1)?nnax?i1ab?1?xi?1nabi?(?xia)b，则
i?1nnS?b?1?xi?1nabi?xi?1n.
ab?ni由Chebyshev不等式，
n?xi?1nab?ni?(?x)(?x)?nx1x2niabii?1i?1nnxn?x??xabii?1i?1nnab?ni??xiab.
i?1n于是S?nb?1，当x1?x2??xn?1时取等号，所以Smax?nb?1?cmin?nb?1.
代数8（湖南师大附中张湘君）
给定m?3且m?N，设a1,a2,,am?0，n?m且n?N，求证：
?(i?1maim)n?n，其中am?1?a1.
ai?ai?121nm,m，则?bi?1，原不等式??()?n.
2i?11?bii?1m1n1m()()??m1?b1?bi?1ii?i?1，于是只需证明：mmma分析：令bi?i?1,i?1,2,aimm由幂平均不等式知
n1mm()?m. ?1?b2i?1i考虑到bi?0,i?1,2,m,m，可设bi?eci,i?1,2,,m，则
?c?0.
ii?1m10
1m记f(t)?()，则
1?etmm1mm1mmm()??()??f(c)?. ???icimmm1?b21?e22i?1i?1i?1im1mtt?m?2t求f(t)?(的二阶导数得下面分两种情f''(t)?me(1?e)(me?1)，)t1?e况讨论：
m1m1m1)?()， (i) 当bi(i?1,2,,m)中至少有一个小于时，?(1mi?11?bi1?m11mm1)?m?(1?)?mm?2. 于是只需证明(12m1?m设g(x)?x,x?3，则g'(x)?x?1x1x1?(1?lnx)?0，所以g(x)在x?3时单调2x1111递减，所以(1?)?mm?(1?)?33?2.
m3(ii) 当bi(i?1,2,m1,m)都大于等于时，f''(t)?0，则f(t)是下凸函数，
m由琴生不等式得?f(ci)?m?f(i?1?ci?1mim)?m?f(0)?m. 2m1mm)?m，证毕. 综上所述，?(2i?11?bi
代数9（湖南师大附中汤礼达）
设a1,a2,...,an?R?，求证：?i?1nmain?1?1.n?12ai?(n?1)?aji?j证明：首先我们证明局部不等式：
(a?an2?12n1?an2?12n2?...?an2?1AM?GM2n2n)?(an2?12n1?(n?1)an?1n2n?12n2n?1nn
???an?12n2n)n2?1n1?2(n?1)an2?1n?12n2n12
a???an?12nn?(n?1)2an???an2???a?an2?1n1?(n2?1)n2?12(n?1)n?1n2?12n122aa?1?an2?1n1?(n2?1)aa???an
n?1n12所以有
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