2019-2020年中考数学总复习题型专项四解直角三角形的实际应用试题(2)
类型1 仰角、俯角问题
1．(2016·南宁模拟)如图，AB，CD两个建筑物，AB的高度为60米，从AB的顶点A点测得CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.求： (1)两建筑物底部之间的水平距离BD的长度； (2)CD的高度．(结果保留根号)
解：(1)根据题意，得BD∥AE， ∴∠ADB＝∠EAD＝45°. ∵∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°. ∴BD＝AB＝60.
∴两建筑物底部之间的水平距离BD的长度为60米． (2)延长AE，DC交于点F.
根据题意，得四边形ABDF为正方形， ∴AF＝BD＝DF＝60.
在Rt△AFC中，∵∠FAC＝30°， ∴CF＝AF·tan∠FAC＝60×又∵FD＝60，
∴CD＝60－203.
∴建筑物CD的高度为(60－203)米．
2．(2014·桂林)中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7 062.68米．某天该深潜器在海面下1 800米处作业(如图)，测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2 000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°.
(1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由； (2)由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2 000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
3
＝203. 3
解：(1)沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内．理由如下： 过点C作CD垂直AB，交其延长线于点D.
设CD＝x米，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AD＝x米． 在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴BD＝∴AB＝AD－BD＝x－3
x米． 3
3
x＝2 000，解得x≈4 732. 3
∴船C到海平面的距离为4 732＋1 800＝6 532米＜7 062.68米．
∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内． (2)t＝1 800÷2 000＝0.9(小时)．
答：“蛟龙”号从B处上浮回到海面的时间为0.9小时．
类型2 方位角问题
3．(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至海面B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A，C之间的距离．
解：作AD⊥BC，垂足为点D.
由题意，得∠ACD＝45°，∠ABD＝30°. 设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x， 在Rt△ABD中，可得BD＝3x.
又∵BC＝20(1＋3)，CD＋BD＝BC， 即x＋3x＝20(1＋3)， 解得x＝20，
∴AC＝2x＝202(海里)．
答：A，C之间的距离为202海里．
4．(2015·钦州)如图，船A，B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP＝30海里．
(1)尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E(要求：保留作图痕迹，不写作法)； (2)求船P到海岸线MN的距离(即PE的长)；
(3)若船A，船B分别以20海里/时，15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
解：(1)如图所示．
(2)由题意，得∠PAE＝30°，AP＝30海里，
在Rt△APE中，PE＝APsin∠PAE＝APsin30°＝15海里． (3)在Rt△PBE中，PE＝15海里，∠PBE＝53°， 则BP＝
PE75
≈海里．
sin∠PBE4
3075
A船需要的时间为：＝1.5(小时)，B船需要的时间为：＝1.25(小时)．
204
15∵1.5小时＞1.25小时，
∴B船先到达．
类型3 坡角、坡度(比)问题 5．(2016·黄石)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°. (1)求AB段山坡的高度EF；
(2)求山峰的高度CF.(2≈1.414，CF结果精确到1米)
解：(1)作BH⊥AF于点H. 在Rt△ABH中， BH
∵sin∠BAH＝，
AB
∴BH＝800×sin30°＝400(m)． ∴EF＝BH＝400 m.
答：AB段山坡的高度为400米． (2)在Rt△CBE中，∵sin∠CBE＝，
∴CE＝200×sin45°＝1002≈141.4(m)， ∴CF＝CE＋EF＝141.4＋400≈541(m)． 答：山峰CF的高度约为541米．
类型4 与实际生活相关的问题
6．(2016·贺州)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
CEBC
解：该建筑物需要拆除．
由题意，得AH＝10米，BC＝10米， 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°， ∴AB＝BC＝10米．
在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°， ∴DB＝
BC
＝103米．
tan∠CDB
∴DH＝AH－AD＝AH－(DB－AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(米)． ∵2.7米＜3米，
∴该建筑物需要拆除．