习题三
1.X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1???? 322280 1 8X 110 21C3????3/8 22211110 ??? 22282 22C3?C23 ?4C7352C3?C1C1122?2 ?4C73522C3?C23 ?4C7352.X和Y的联合分布律如表： Y 0 0 1 0 3 0 C3C123?2 ?4C735C3C123?2 ?4C7350 1 0 C1C1C263?2?2 ?4C73521C1?C?C6322 ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22?2/C7?1 35πππ3.如图P{0?X?,?Y?}公式(3.2)
463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,)434636ππππππ?sin?sin?sin?sin?sin0?sin?sin0?sin434636
2?(3?1).4说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4．（1） 由
??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?yxA?1 得 A=12? 12（2） 由定义，有 F(x,y)???????f(u,v)dudv
yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
1
??100?12e2?(3x?4y)dxdy?(1?e)(1?e)?0.9499.?3?8
5.（1）由性质有
????1??????3f(x,y)dxdy??201?423k(6?x?y)dydx?8k?1,故 R?1?（2）8P{X?1,Y?3}??(3)P{X?1.5}??????f(x,y)dydx??13k(6?x?y)dydx? 0?2881.5402x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy ??dx?D1127(6?x?y)dy?. 8324?x(4)P{X?Y?4}?X?Y?4??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy??dx?D202212(6?x?y)dy?. 836.（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?1?5e?5y,y?0,?,0?x?0.2, fX(x)??0.2 而fY(y)?? 所以
0,其他.??其他.?0,?1?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0,??5e f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y) ??0.2 ??其他.?0,??0,(2) P(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy如图??25eD?5ydxdy
??dx?25e-5ydy??(?5e?5x?5)dx0000.2x0.2
=e-1?0.3679.?2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0,7.f(x,y)? ???x?y其他.?0,8.fX(x)??????x2???04.8y(2?x)dy?2.4x(2?x),0?x?1, f(x,y)dy=???其他.?0,??0, fY(y)???????14.8y(?2xx)d?2.4y(?3y4?y2??y=??f(x,y)dx??0,??0,),?y0?1,
其他.???y?x???xedy?e,x?0,9.fX(x)??f(x,y)dy=? ????其他.?0,??0,y?y?x?????0edx?ye,y?0, fY(y)??f(x,y)dx =?????其他.?0,??0,??10.（1）
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy =?dx?2cx2ydy?D-1x114c?1.得? 21 2
c?21. 4(2) fX(x)???????212?12124??x2xydy?x(1?x),?1?x?1, f(x,y)dy??4??8??0,其他.?0,??75?y212???yxydx?y2,0?y?1, f(x,y)dx????24??0, 其他.?0,?fY(y)??????11.fX(x)??????x?y?2x,0?x?1,?1d f(x,y)dy ????x?其他.?0,fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1, 所以
y?其他.?0,???1 ?x?1,?1?y, y??1f(x,y)?,|y|?x?1,f(x,y)?1 fX|Y(x|y)fY|X(y|x)???2x???,?y?x? 1,fX(x)?fY(y)?1?y0,其他.??0,其他.??12.（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 6 103 101 101 11 ?3C5100 22 ?3C51011 ?C31050 33 ?3C51022 ?C310511? 2C5102 3 0 36 10106161????P{X?1,Y?3},故X与Y不独立?(2) 因P{X?1}?P{Y?3}? 101010010P{Y?yi} 1 1013.（1）X和Y的边缘分布如下表?
3
Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} (2) P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4),X与Y不独立.
14.（1） 因f(x)????1,0?x?1,??1e?y2,y?1,X?0,其他; fY(y)????2
?0,其他.?1?y/故f(x,y)X,Y独立ff?e2?x?1,y?0,X(x)?Y(y)??0
?2?0,其他. (2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是??(2X)2?4Y?0故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：P{X2?Y}???f(x,y)dxdy
x2?y??1dx?x21?y/2002edy ?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.15.如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{XY?z} (1) 当z≤0时，FZ(z)?0
（2） 当0 1000z）(如图a) F106106Z(z)???y?xx2y2dxdy????dyyz103x2y2dx=?????103106?z1032?3?dy? z?103z?yzy?2z (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） 6F10??zy106???103Z(z)???y?xx2y2dxdy??103dy?103x2y2dx =?103??y2?106?zy3??dy?1?12z z 4 ??1?12z,z?1,??12z2,z?1,?即f?z?Z(z)??0?z?1,故f?1?2,Z(z)??2,0?z?1, ??0,其他.??0,其他.???16.设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），从而 P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}?P{X2?180} P{X3?180}?P{X4?180} ?[1?P{X1?180}?]?[1PX2{?1?80}?P][1X3?{?1?8P0}4X][1???180?4 ?[1?P{X?180}]4???1???160??20??1??? ?[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以{Z?i}?{X?Y?i} ?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0}于是 iiP{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立?0?P{X?k}?P{Y?i?k}kk?0i??p(k)q(i?k) k?018.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n. kP{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i} i?0k??P(X?i)?P{Y?k?i}i?0k????n??piqn?i??n??pk?iqn?k?i i?0?i??k?i?k???i?0?n??n? k2n?k?i????k?i??pq???2n???pkq2n?k?k方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, 15 {80}]