对数与对数函数
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝log2x－1的图象关于直线y＝x对称，则f(x－1)＝( )
＋
A．4x B．4x1
＋
C．2x D．2x1
图1
解析：函数y＝log2x－1的反函数为y＝f(x)＝4x＋1，则f(x－1)＝4x，故选A. 答案：A
2．(2010·深圳调研)若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图1，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是 ( )
由题意得0
答案：D
x＋3
3．(2009·北京高考)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点
10
( ) A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
x
x＋3
解析：由y＝lg得y＝lg(x＋3)－1，由y＝lgx图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向
10下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．故选C.
答案：C
4．(2009·全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则 ( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
1?111
，1，c＝log32＝log32∈?0，?，故有a>b>c. 解析：a＝log3π>1，b＝log23＝log23∈??2??2?22
答案：A
1
5．(2009·湖南高考)若log2a<0，()b>1，则( )
2
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0 C．00 D．0
1?b
解析：由log2a<0?01?b<0，故选D. 答案：D
6．函数f(x)＝loga(x2－ax＋2)在区间(1，＋∞)上恒为正值，则实数a的取值范围为( ) A．(1,2) B．(1,2]
C．(0,1)∪(1,2)
5
D．(1，)
2
解析：当a>1时，x2－ax＋2>1，即x2－ax＋1>0在x∈(1，＋∞)上恒成立∴1－a＋1≥0∴a≤2.∴10且x2－ax＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，无解．综上，1
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是__________．
解析：log3(x2－10)＝log33x，
?
∴?x－10>0?x－10＝3x
22
3x>0
，解得x＝5或x＝－2(舍去)．
答案：x＝5
8．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为__________． 解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立． y＝x2－2x＋3开口向上有最小值． ∴a>1，∴loga(x－1)>loga1，
??x－1>0等价于?，∴x>2.
??x－1>1
∴不等式的解集{x|x>2}． 答案：{x|x>2}
1xx
9．已知x满足2x≤256，且log2x≥，则函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值分别为________、
222
__________.
1
解析：∵2x≤256，且log2x≥，
2
1
∴2≤x≤8，∴≤log2x≤3，
2
∴f(x)＝(log2x－1)(log2x－2) ＝(log2x)2－3log2x＋2
31
＝(log2x－)2－，
24
113
∵≤log2x≤3，而<<3， 222
3
∴当log2x＝，即x＝22时，
2
1
f(x)取得最小值为－；
4
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)取得最大值为2.
1
答案：2 － 4
10．(2009·南昌调研)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称，记g(x)＝
1
f(x)[f(x)＋f(2)－1]．若y＝g(x)在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
2
解析：g(x)变形化归为二次函数在区间上的单调性讨论求解．
由已知条件切入，g(x)＝logax(logax＋loga2－1)＝(logax)2＋(loga2－1)logax.
1
①当0
2loga2－111有－≥loga?0
222
1
②当a>1时，y＝u＝logax为增函数，则g(u)＝u2＋(loga2－1)u在[loga，loga2]上也为增函数，于是有
2loga2－111
≤loga?a∈?，由①②得a∈(0，]． 222
1
答案：(0，]
2
三、解答题(共50分)
11．(15分)设P：关于x的不等式2|x|
解：P：∵2|x|≥1，且不等式2|x|0恒成立．
①若a＝0，则－x>0(不符合题意，舍去)；
??a>0，1
②若a≠0，则??a>. 2
?Δ＝1－4a2<0?
∵P和Q有且仅有一个正确，∴P真Q假或者P假Q真．
1
若P真Q假，则a≤；
2
若P假Q真，则a>1.
1
综上可得，所求a的取值范围为(－∞，]∪(1，＋∞)．
2
－
12．(15分)已知函数f(x)＝3x＋k(k为常数)，A(－2k,2)是函数y＝f1(x)图象上的点．
－
(1)求实数k的值及函数f1(x)的解析式；
－－
(2)将y＝f1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)的图象，若2f1(x＋m－3)－g(x)≥1恒成立，试求实数m的取值范围．
解：(1)∵A(－2k,2)是函数y＝f－1(x)图象上的点， ∴B(2，－2k)是函数y＝f(x)上的点． ∴－2k＝32＋k，∴k＝－3，∴f(x)＝3x－3. ∴y＝f－1(x)＝log3(x＋3)(x>－3)．
(2)将y＝f－1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)＝log3x(x>0)， 要使2f－1(x＋m－3)－g(x)≥1恒成立，
即使2log3(x＋m)－log3x≥1恒成立．
m
∴有x＋＋2m≥3在x>0时恒成立，
xm
只要(x＋＋2m)min≥3.
xmmm
又x＋≥2m(当且仅当x＝，即x＝m时等号成立)，∴(x＋＋2m)min＝4m，
xxx
9
即4m≥3.∵m≥. 16
9
∴实数m的取值范围为[，＋∞)．
16
1
13．(20分)(2010·衡水模拟)已知集合P＝[，2]，函数y＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.
2
(1)若P∩Q≠?，求实数a的取值范围；
1
(2)若方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．
21
解：(1)若P∩Q≠?，则在x∈[，2]内，至少有一个值x使得ax2－2x＋2>0成立，
2－221
即在x∈[，2]内，至少有一个值x使得a>2＋成立．
2xx22111
设μ＝－2＋＝－2(－)2＋，
xxx2211
当x∈[，2]时，μ∈[－4，]．∴a>－4.
22所以实数a的取值范围是{a|a>－4}．
1
(2)方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[，2]内有解，
2
1
则ax2－2x－2＝0在[，2]内有解．
2
122
即在x∈[，2]内有值x使得a＝2＋成立，
2xx22111μ＝2＋＝2(＋)2－. xxx22
133
当x∈[，2]时，μ∈[，12]，∴a∈[，12]．
222
3
所以实数a的取值范围为a∈[，12]．
2