分层训练·进阶冲关
A组 基础练(建议用时20分钟)
1.下列说法中正确的个数是 ( B ) (1)身高是一个向量.
(2)∠AOB的两条边都是向量. (3)物理学中的加速度是向量.
A.0 B.1 C.2 D.3 2.若|a|=|b|,那么要使a=b,两向量还需要具备 ( B A.方向相反
B.方向相同
C.共线
D.方向任意
3.如图所示,A,B,C是☉O上的点,则向量
,,
是 (
A.有相同起点的向量 B.方向相同的向量 C.模相等的向量
D.相等的向量
4.下列命题中正确的个数为 ( B )
①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同; ②若非零向量a与b共线,则a=b; ③四边形ABCD是平行四边形,则必有||=|
|;
④a∥b,则a,b方向相同或相反. A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
5.若|
|=|
|且
=,则四边形ABCD的形状为
- 1 -
)
C )
( C )
A.平行四边形 C.菱形
B.矩形 D.等腰梯形
6.如图所示,点C,D是线段AB的三等分点,分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有
( B )
A.3个
B.6个
C.8个
D.12个
|=
.
7.如图所示,已知正方形ABCD边长为2,O为其中心,则|
8.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则命题;①C?A;②A∩B={a};③C?B中错误的是 ② .
9.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量m= 0 .
10.如图,四边形ABCD为等腰梯形,有下列结论;①③
>
.其中正确的结论有 0 个.
与
是共线向量;②
=
;
是平行向量,与
是共线向量,则
11.如图所示,已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形. (1)与(2)与(3)若|
相等的向量有哪些? 共线的向量有哪些? |=1.5,求|
|的大小.
- 2 -
【解析】(1)与(2)与(3)若|
相等的向量即与
同向且等长的向量,有
,
,,,. ,
,
,.
共线的向量即与|=1.5,则|
|=|
方向相同或相反的向量,有|=|
|+|
|=2|
|=3.
12.如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,求向量
的模.
的模、的模以及
【解析】因为正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1, 所以||
|=
|=1,|
|=
=
==
, .
B组 提升练(建议用时20分钟)
13.下列说法正确的是
( C )
A.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反 B.若向量
,
满足|
|>|
|,且
与
同向,则
>
C.若a≠b,则a与b可能是共线向量 D.若
=
,则A与C重合,B与D重合.
14.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法错误的是 ( D )
A.与B.与
相等的向量只有一个(不含的模相等的向量有9个(不含
) )
- 3 -
C.D.
的模恰为与
的模的倍
不共线
15.给出以下五个条件;①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是 ①③④ .
16.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形,则图中与向量相等的向量是
和
.
17.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 m到达B地,再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 m到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000画图表示向量
,,
,并指出向量
的模和方向.
m到达D地.
【解析】以A为原点,正东方向为轴正方向,正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.
据题设,B点在第一象限,C点在轴正半轴上,D点在第四象限,向量,
如图所示,
,
由已知可得,
△ABC为正三角形,所以AC=2 000 m. 又∠ACD=45°,CD=1 000
m,
所以△ADC为等腰直角三角形, 所以AD=1 000故向量
m,∠CAD=45°.
m,方向为东南方向. .
的模为1 000
=
=
18.如图,已知
求证;(1)△ABC≌△A′B′C′.
- 4 -
(2)=,=.
【证明】(1)因为所以|
|=|
=|,且
, ∥
.
又因为A不在上,所以AA′∥BB′.
所以四边形AA′B′B是平行四边形. 所以|同理|
|=||=|
|. |,|
|=|
|.
所以△ABC≌△A′B′C′.
(2)因为四边形AA′B′B是平行四边形, 所以
∥
,且|=
.
C组 培优练(建议用时15分钟)
19.已知向量a,b是两个非零向量,式正确的是 ( D ) A.B.C.D.
===与
或
的长度相等
=
且
=
=
,
分别是与a,b同方向的单位向量,则以下各
|=|
|.所以
=
.
同理可证,
20.如图所示,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又,求证;
=
.
- 5 -
【证明】因为
=
,所以|
|=|
|且AB∥DC,
所以四边形ABCD是平行四边形, 所以|又因为所以|,|所以|所以
=|=|与
|且DA∥CB. 的方向相同,
=
.因为|
|=|
.同理可证,四边形CNAM是平行四边形,所以|=|
|, |.又
与
的方向相同,
|=|=
.
- 6 -