线性系统能控性问题的扩展研究学习
摘要：本文介绍了利用PBH检验研究系统能控性与系统特征值的关系的能控
子空间、不能观子空间的计算方法，获得有实用意义的相应结果并给出实例验证，还介绍了线性系统了能控性的几何判据。
绪论
线性系统的状态完全能控性判别，通常利用建立能控性矩阵的方法。对于不能控的系统，为了确定其不能控的状态变量，需要对系统进行能控性结构分解[1]。当系统中含有参数时，该判别法及不能控状态变量的确定将是不方便的。另外能控性矩阵也未体现系统特征值对能控性的影响。
我们首先对PBH(Popov-Belevitch-Hautus)的特征向量检验介绍一个新的证明，获得较简单的能控性判据，且由此易于求得不能控状态变量与能控子空间，进而讨论与能控性有关的系统特征值问题，最后列举与能观性有关的结论。 线性系统的几何理论是将线性系统的动态分析转化为状态空间中相应的几何问题。这种几何方法的特点是简洁明了，避免了状态空间中大量繁杂的矩阵推演计算。在学习过程中对此会感到概念抽象，难于掌握，因而需要相应的数学基础。在此数学基础上，介绍了线性系统能控性的几何判据。
1 能控性判别与能控子空间的确定
考虑如下系统
系统(1-1)的能控性矩阵是
。 M?（B,AB,?，An-1B）当且仅当rank M=n时，系统(1-1)是状态完全能控的[2]。PBH特征向量检验可表述为：
定理1.1 系统(1-1)状态完全能控的充分必要条件是矩阵AT的特征子空间
V?与矩阵BT的化零空间NBT之交是平凡的[3]。
?(t)?Ax(t)?Bu(t)?x? ?y(t)?Cx(t)A?Rm?n,B?Rn?r,C?Rm?n（1-1）
??
1
证明 充分性
若系统(1-1)不能控，设不能控状态是
a1x1?a2x2???anxn，
记向量a?col(a1,a2,?,an)，则a为非零向量。由系统(1-1)之状态方程可推出
d(a1x1?a2x2???anxn)??(a1x1?a2x2???anxn)， dt(1-2)
?为常数。将a1,a2,?,an分别乘以系统(1-1)之状态方程的各式并相加得
aTdx?aTAx?aTBu。 dt与(1-2)式比较得 即
aTA??aT， aTB?0，
(1-3) (1-4)
(AT??I)a?0，
BTa?0。
(1-5) (1-6)
式(1-5)、(1-6)表明存在矩阵AT的特征向量属于BT的化零空间，得证。 在定理1.1的充分性证明中已得到不能控系统的不能控状态变量是
aTx?a1x1?a2x2???anxn，
这里a?V??N(BT)，?是矩阵AT的特征子空间。当且仅当aTx?0时，状态变量是能控的，这就是不能控系统的能控子空间的表达式。 记集合
则有如下结果：
定理1.2 系统(1)能控子空间是Span(S)的正交补[3]。
定理1.1、1.2在实际应用时，并不需要全部求解AT的特征值问题，可先求齐次线性方程组BTx?0的基础解，再验证它是否为AT的特征向量。
S??aa?V??N(BT),???，
(1-7)
2
?426??22? 例1 A??-73-2?，B??-31?。
???????-2615???26?? 解：①由BTa?0，得a?col(52-2)。
②计算ATa?col(104-4)?2a，即a是AT关于特征值?=2的特征向量，系统??A,B?不能控。
③能控子空间是Span(a)的正交补，即R3中的平面5x1?2x2-2x3?0。
?2132??13??-12-21??21??，B???。 例2 A???3-42-1??-2-1?????-33-311-2???? 解：①由BTa?0，得a??col(0110)??col(1-101)。 ②计算ATa??col(2-200)??col(0222)。
?、?为任意常数．令其等于?a，可得??2,??1,??1,a?col(1011)。
③系统??A,B?的能控子空间是Span(a)的正交补，即R4中的超平面
x1?x3?x4?0。
2能控性的特征值问题
由定理1.1、1.2可知，系统(1-1)的状态能控性与矩阵A的特征值问题有密切联系，以下讨论几个有关问题，先证明如下命题：
命题 记矩阵AT的复特征向量为a?ib，a，b是实n维列向量，b是非零的，则a，b线性无关，从而a是非零向量[4]。
证明 若a?kb,(k为实数)，矩阵AT的复特征值记为??i?，则有
AT(k?i)b?(??i?)(k?i)b。
分出实、虚部并整理得(k2?1)?b?0。由于?，b非零，k是实数，此式矛
3
盾，命题得证。
推论2.1 若系统矩阵A没有实特征值，则对秩不小于(n一1)的输入矩阵B，系统(1-1)是状态能控的。
证明 由条件有dimN(BT)?1，根据上述命题，矩阵AT的任何复特征向量不可能属于BT的化零空间，因而系统(1-1)是状态能控的。
由于应用MATLAB等数学软件极易求得矩阵的全部特征值，推论1有很大的应用价值，例如振荡型二次系统对于任何输入矩阵都是状态能控的。
推论2.2 若矩阵AT的特征子空间的最大维数大于输入矩阵B的秩，则系统(1-1)必不能控[4]。
证明 设V?是AT的特征子空间中维数最大者，由条件dimV??rankB，而
dimN(BT)?n?rankB，所以dimV??dimN(BT)?n，因此V?与N(BT)之交 必定是Rn中的非平凡子空间，由定理1.1得到系统(1-1)不能控。
??10?B?R3?1。 例3 A??0?1?，
????00??? 解：显然矩阵AT的唯一特征值?的几何重数是2，即dimV??2，而
rankBT?1(?B)，由推论2.2可知系统对任何B都是不能控的。
推论2.3 对于单输入系统，系统能控的必要条件是矩阵AT的特征子空间维数都是1。
对于可对角化矩阵，这个条件就是特征值互异。在一般情形则是AT的Jordan型中段有相同特征值的Jordan块。推论3是文献[4]第70页倒3～10的推广。
推论2.4 若矩阵AT的特征子空间都是1维的，则当且仅当AT的特征向量不属于矩阵BT的化零空同时系统(1-1)是能控的。
矩阵A与A1有相同的Jordan标准型，即同一特征值的代数重效、几何重数、初等因子次数均相等。
4