3 关于系统能观性的结论
1)系统(1-1)能观的充分必要条件是矩阵A的所有特征子空间与矩阵C的化零空间之交是平凡的。
2)系统(1-1)的不能观子空间是A的特征子空间与矩阵C的化零空间之交。 3)若矩阵A元实特征值，则对秩不小于(n一1)的输出矩阵C，系统(1)都是能观的。
4)系统(1-1)能观的必要条件是矩阵A的特征子空间的最大维数不大于矩阵C的秩。
5)对于单输出系统，能观的必要条件是A的特征子空间都是1维的。 6)若矩阵A的特征子空间维数都是1，则当且仅当A的特征向量不属于矩阵C的化零空间时系统(1-1)是能观的。 r^ 1 o]
??10?例4 A??0?1?，确定系统能观的条件。 C?(c1,c2,c3,)，????00???解：A的唯一特征向量是col(100)，所以系统能观的充分条件是
col(100)?N(C)，即c1?0。
4线性系统能控性的几何判据
状态向量x0为能控的充分必要条件是存在t1和u?t??0?t?t1?，使
x0?-?e-A?Bu(?)d?
01(4-1)
式中u?t?：线性系统的输入(控制)向量，m维； A：线性系统的状态矩阵，?n?n?阶方阵；
B：系统控制矩阵，?n?m?阶阵。
引理4.1 所有能控状态构成状态空间中的一个子空间。
由全部能控状态所构成的子空间，称为能控子空间，记为AImB。
?，An?1B所有列向量所张成定理4.1 能控子空间x?AImB为由B，AB，的子空间，如整个状态空间V的维数为n，则
5
AImB?SpanB,AB,?,An?1B??[5]
(4-2)
证明 对任意x0?AImB，则存在t1和u?t??0?t?t1?，使
x0?-?e-A?Bu(?)d?。
01由于e可表示为e???k?t?Ak。则得
AtAtn?1k?0x0?-?~?ABu~???An?1Bu~。 ??k?????A?kBu????d??Bu?01n?10k?01n?1~??-1?式中ukk?110n?1??????。所以故，??u?d?k?0,1?,n?1?x?SpanB,AB,?,AB?，k0?AImB ?? 分两种情况考虑，并设AImB的维数dimAImB?n1，且n1 AImB=SpanB,AB,?,An?1B=V。 ??(2)若n1 q1,q2,?,qn，使得对任意口x0?AImB有 TTTq1x0?0，q2x0?0，…，qnx0?0。 将x0???e?A?Bu(?)d? 01?代人上式，即得 10(qiTe?A?B)(qiTe?A?B)Td??0。 qTi?eBu(?)d??0011(i?1,2,?,n0) 如取口u(?)?(qiTe?A?B)T，则 ?100(qiTe?A?B)(qiTe?A?B)Td??0所以 。 。 令?T?qiTe?A?B，故??T?d??0?T?qiTe?A?B?0。 6 对上式求导，共求导(n-1)次，即得 qiTe?A?AB?0;qiTe?A?A2B?0; ? qiTe?A?An?1B?0(i?1,2,?,n0)。 令??0，得qiTAB?0,qiTA2B?0,?qiTAn?1B?0。上式表示q1,q2,?qn0(可理 解不可控空间的n0个向量)与spanB,AB,?,An?1B相正交， 因此spanB,AB,?,An?1B的维数?n?n0?n1，由于dimAImB?n1AImB的维数与spanB,AB,?,An?1B的维数相等，而且 ????， 即 ??AImB?spanB,AB,?,An?1B?? 所以必有AImB?span?B,AB,?,An?1B?。 由定理4.1可知，线性非时变系统，如AImB?V则系统便是完全能控的，反之如系统完全能控，则AImB?V，因此几何判据为定理4.2。 定理4.2 线性非时变系统完全能控的充分必要条件AImB?V[5] 。 由此可见，AImB实际上由能控矩阵?U?的A,B构成的列向量所张成的一个子空间。当系统完全能控时，rank?U??n?状态空间的维数。也就是由A，B各列张成的子空间，必定充满整个状态空间，即dimAImB?n。 当系统不完全可控时，AImB将严格包含在状态空间V中，不能完全充满它。此时，整个状态空间V即为“能控子空间”与“不能控子空间”的直和。 引理4.2 能控子空间是V的不变子空间。 证明 由于AImB?spanB,AB,?,An?1B在T的变化下，则有 ??TAImB?TspanB,AB,?,An?1B?spanB,AB,?,An?1B????。 设T变换的特征多项式为f(x)?sn?an?1sn?1???a1s?s0，则根据凯莱-哈密顿定理可知： 7 An??(an?1An?1???a1A?a0I)。 所以 T?AImB?spanB,AB,?,An?1B?(an?1Am?1?a1A?a0I)B?spanAB,A2B,?,AnB?AImB由此可知AImB为V的不变子空间。 。 命题4.1 在任意口u?t?作用下，设x0?AImB， 那么对于由 ??????Ax(t)?Bu(t),x(0)?x0 x所确定的状态轨线工x?t?，则恒有 x(t)?AImB,(t?0) 证明 由于x(t)?ex0??e0At1A(t??)At。 1?Bu(?)d??ex0??e?A?Bu(?)d??设t1?0为??0??， t的任意固定值，则 x(t1)?e1A?1?x?1e?A?Bu(?)d?????0?0?。 令x1???e?A?Bu(?)d?，那么x(t1)?eAt1?(x0?x1)并知x1?AImB。由于 ，0x0,x1AImB， 所以x0?x1?AImB， 而AImB是V的不变子空间，则知 。 x(t1)?eAt1(x0?x0)?AImB这个命题可作如下解释： ??Ax(t)?Bu(t)所确定的状态轨线。在x?t?处的切线向设x?t?是由状态方程x量，恰好是x?t?在T变换下的象T1?x?t???Ax?t?与象T2?u?t???Au?t?之和。若 x?t??AImB， 则Ax?t??AImB， ， 且Bu?t??AImB， ??t??AImB故工x。 因此若状态x0?AImB度也属于AImB则轨线x?t?在x0处的切线向量，也即系统的变化速 由AImB是V的不变子空间，可推出x?t?在x0处的高阶 。 。 因而可直观地想像轨线x?t?也将在AImB内变化， 变化率也属于AImB如图4-1所示。 8 AImB 5 结束语 x0 x?t? x?t? 图4-1 x?t?在AImB的几何示意图 很荣幸我能够在刚进入研究生学习阶段的第一学期跟随常老师一起学习《线性系统理论》这门课程。在短短的一学期的课程中，常老师寓教于乐，不仅让我学到很多知识，也收获了更多的欢乐。 线性系统理论我学得很一般，对于教材中的很多知识都并不是特别熟悉。在选取课程结课论文题目的时候，我查阅了许多资料，最终决定选取能控性方面的问题加以深入地了解学习。在阅读论文的过程中，也确实学到了许多教材上没有知识。在能控性问题的深入学习和扩展上还结合了研究生阶段的另一门课程——《矩阵分析》，这使我深深地感受到数学的强大。 9 参考文献： [1]涂生．多变量线性控御系统状态空间方法[M]．.北京：煤炭工业出版社，1988． [2]郑大钟．线性系统理论[M]．第二版．北京：清华大学出版社，2005． [3]李保全．陈维远．线性系统理论[M]．北京：国防工业出版社，1997． [4]黄力民．线性系统能控性与特征值问题[J]．湖南：湘潭矿业学院学报，2001． [5]韩肖宁．线性系统能控性和能观性的几何判据[J]．山西：电力学报，2008． [6]王厦生．Vandermonde行列式的推广及其在控制理论中的应用[J]．数学物理学报，1983． 10