巧用图形运动构造全等三角形
学习了全等之后，我们可以利用全等证两条线段相等．基本步骤为：
（1）观察要证明的线段在哪两个可能全等的三角形中，找到并证明这两个三角形全等； （2）若所证线段不在全等三角形中，可以相等线段替换后，证三角形全等；
（3）如果没有相等线段替换，则可以根据图形结合已知添加适当辅助线构造全等三角形． 前两个步骤对于同学们来说并不是很困难，难就难在如何根据图形结合已知添加适当辅助线构造全等三角形．如果我们能从图形运动的角度，采取平移、翻折、旋转等方法，就可以先找出辅助线的位置，再恰当的做出辅助线构造全等三角形解决问题． 我们先看一下一道经典习题的常规解法．
【草根批注：设正方形边长为a，AM=b，BM=a-b，BQ=QN=c，利用相似列等式，进行等式变形即可】
除了上述的常规构造解法，此题我们可以利用图形的运动巧添辅助线
【草根批注：先证△MBN≌△MBH，再通过“等角对等边”证DM=MH】
【草根批注：易证△QMB为等腰直角三角形，再证△DQM≌△MBN】
【草根批注：易证△ABH是等腰直角三角形，继而可知AB垂直平分DH，从而可知DM=MH，再通过等角对等边证“MH=MN”】
【草根批注：易证△AMH是等腰直角三角形，继而证明△MBN≌△MBH】
通常的情况下，我们是利用方法1和方法2来构造全等三角形解决问题．方法3、方法4、方法5、方法6巧妙地运用了图形的运动来构造全等三角形解决问题．图形的运动不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，从而达到优化图形结构，进一步整合图形条件的目的，使较为复杂的问题得以创造性地解决．
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．如果我们能运用“动”的思路观察、分析、推理、探究相关图形的位置变化情况或图形的相关性质就能巧妙地解决问题．
【草根批注：一道普通试题变化孕育出这么多精彩绝伦的解法，足见沈老师在此用足了心思，这也是草根一看到这篇文章就要来转载的原因。不过在这些表面光鲜运用图形运动的解法背后，其实道道对于学生利用等（同）角和差证等角的功力提出了相当的挑战，草根一直认为几何证明题大的方面要会添辅助线、小的方面要会证等角，所以把这六种解法拿去上课，既能开拓学生视野，而且还能锻炼学生证等角的能力】
一道几何证明题的变化演变
运用“问题变式”教学逐步帮助学生掌握辅助线添加方法的尝试
对于一些学生普遍感到有困难的数学问题的解决，一个基本思路就是把没有解决的问题化归为已经解决的问题，复杂的问题化归为简单的问题（波利亚，1945）。由于在未解决问题（复杂问题）和解决了的简单问题之间没有清晰的联系，因此有时需要运用“问题变式”为完成这种化归设置一些路径。这一转换过程可以用图1来表示。
在初中的数学教学中就有一些学生掌握较困难的难点，例如：几何证明中的“辅助线添加”。在实际教学中，我发现虽然教师针对这一难点，讲解了很多例题，学生也操练了不少习题，但实际效果并不
理想，很多学生面对新的需要“添加辅助线”的数学问题时，依旧感到束手无策，可见学生对于辅助线添加的方法还没有真正掌握。针对此，我尝试针对“添加辅助线构造全等三角形”中的一类问题，设计了一组“问题变式”（其基本结构如右图），试图以此逐步帮助学生掌握该类辅助线添加方法。 以下我就根据初二学生的一般认知水平，并结合课堂中学生的即时反馈，客观描述学生通过我所设计的这组“问题变式”的学习，其对于“添加辅助线构造全等三角形”这类数学问题的认知过程。
一、通过“源问题”给出问题解决的基本流程：
源问题：如图（3），E是正方形ABCD边AB上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），在另一条直角边上截取DE=EF，联结BF，证明：BF平分∠CBM。
第一步：观察图形，通过“外角的性质”或“同角的余角”发现“∠ADE=∠BEF”；
第二部：根据已掌握的“等角”和“等边”的条件，构造全等三角形（过点F做FH⊥AB于H）； 第三步：利用构造出的全等三角形，通过合理论证得到须证明的结论。 注：由△ADE≌△EFH，
得FH=AE、EH=AD=AB，继而可推得：BH=FH，即△BFH是等腰直角三角形。
二、通过“垂直变式题”，逐步增加认知负荷，驱动高层的数学思维
变式一：如图（1），E是正方形ABCD边AB上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。求证：DE=EF。
变式二：如图（2），E是正方形ABCD边AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。求证：DE=EF。
对于“变式一”，学生会发现如果依旧“过点F做FH⊥AB于H”，由于苦于找不到“等边”的条件，所以无法证明△DAE≌△EFH。（注：事实上，如果仅根据初二学生的认知水平，确实证不出这组三角形的任何一组等边）
面对学生的困惑，我引导他们思考：和源问题相比，什么结论依旧存在，什么条件已经不存在了？学生容易发现，“等角”的结论依旧存在，但“等边”的条件“消失”了，而证明“三角形全等”必须至少要找出一组对应边相等，于是我进一步引导学生：是不是可以通过构造辅助线创造“等边”。不久，就有学生提出：在AD上截取DG=EB，联结GE（如图6），由于AD=AB，不难发现△GAE是等腰直角三角形，从而可得∠DGE=135°，又因为∠EBF=135°，所以∠DGE=∠EBF，从而证明了△DGE≌△EBF。 对于“变式二”，课堂中有很多学生在尝试模仿“变式一”中添加的辅助线的方法：在AD上截取DG=EB，联结GE（如图7）。继而就开始苦苦思索△DGE≌△EBF的原因??，而事实上，易发现△DGE与△EBF并不“全等”。于是在部分学生心中就会产生新的困惑：为什么“变式一”中成功的辅助线添加的方法，在“变式二”中“失灵”了呢？
针对部分学生的“困惑”，我引导学生重新反思“变式一”。学生发现“变式一”中添加辅助线的初衷确实是为了利用“等角”的阶段结论，截取一条相等线段从而构造“全等三角形”，但在截取相等线段的同时也“无意之间”产生了一个等腰直角△GAE，而恰恰正是这个等腰直角三角形在关键时刻提供了另一组“等角”的条件，所以“变式一”中“截取相等线段”的辅助线其实有着一箭双雕的“妙用”！而如果在“变式二”中，我们机械“模仿”变式一，依然在AD上截取DG，那“变式一”中的等腰直角三角形将不复存在，证不出全等也自然在情理之中了。
在反思原有辅助线添加方法的基础上，我进一步引导学生，既然“截取相等线段”不行，那我们应该怎样添加这条辅助线呢？话音刚落，不少同学异口同声地回答：“应该‘补’！”即延长AD至点G，使得DG=EB，连结GE（如图8）。容易发现，这样添加的辅助线构造了相等线段的同时也“产生”出