了一个新的等腰直角△GAE，利用该等腰直角三角形，不难发现“∠G=∠FBE”，从而可证“△DGE≌△EBF”。
三、通过“水平变式题”，巩固已掌握的数学方法，为量变到质变提供可能。
变式三：已知：如图（9）△ABD和△DBC均为等边三角形，点E、F分别在边AB、BC上，联结ED、DF，若∠DEF=60°，证明：△EDF是等边三角形。
虽然“变式三”只是背景由“正方形”变为了“等边三角形”，辅助线的添加方法并没有发生“变化”，但班内依旧有近三分之一的同学有困难，这正说明学生之间思维能力是有差异的，所以此处设计的“变式三”，既为部分困难的学生提供再“运用”、再“巩固”的机会，也为另一部分同学提供了思考这类问题“共性”的机会。
我想量变是质变的基础，学生只有通过适当的反复，才能通过表面特征的重复，才能慢慢形成解决问题的一般方法。所以“水平变式题”在“问题变式”教学过程中同样起着至关重要的作用。
四、最后通过“垂直变式题”，从特殊到一般摸索出这类题目一般规律。
变式四：已知：如图（4），AB=AE，∠A=∠BCD=α，若∠DEF=______（用“α”表示），则可证BC=CD。 对于“变式四”，由条件“∠A=∠BCD=α”可得到一组等角：∠B=∠DCE；利用这组等角，在AB上截取GB=CE，由于AB=AE，所以AG=AC，进一步可得：∠AGC=90-α/2，所以若希望△GBC≌△CED的结论依旧成立，则∠DEF的度数也须等于“=90-α/2”。换言之，符合这样规律的问题，都可以参考本例添加辅助线。从而，由特殊到一般摸索出了这类几何证明题的一般规律。
就本节课的教学设计而言，我从源问题出发先铺设了两道“垂直变式题”，引导学生在利用等角构造全等三角形的基础上，逐步增加认知负荷，逐步驱动高层的数学思维，逐步由表层类比（数字和字母的变化）向结构类比转化。增加深层策略，由原来的程式知识转为策略知识，由表层学习向结构学习转化，逐步增加对数学本质的深层体会，从而使学生的体验由起点（例题）到终点（垂直变式题）的深层经历。然后通过一道“水平变式题”的巩固后，进一步通过反思理解了这类几何问题的一般规律，掌握了这类几何问题的辅助线的添加方法。
其实针对这类问题的解决我们还可以设计出很多相关问题变式，如下例：
源问题：如图11，已知，在正方形ABCD的边BC、CD上有两点E、F，若EF=BE+DF，试证明：∠EAF=45°； 变式一（垂直变式），如图11，已知，在正方形ABCD的边BC、CD上有两点E、F，若∠EAF=45°，试证明：EF=BE+DF；
变式二（垂直变式），如图12，已知，在正方形ABCD的边BC、CD延长线上有两点E、F，若∠EAF=45°，问此时线段EF、线段BE和线段DF之间有着怎样的数量关系？并请证明你的结论；
变式三（水平变式），如图13，已知△ABC是边长为9的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交边AB于点M、交AC于点N，联接MN，求△AMN的周长。
变式四（垂直变式），若AB=AC，BD=CD，∠A=α，若∠BDC=______，∠MDN=____________，则可证 MN=BN+CN。
通过这些“问题变式”训练，我所教学生处理类似“添加辅助线构造全等三角形”相关问题的能力得到了一定的提高。所以我认为“问题变式”教学的优势就在于，变式题不同于记忆型题目和高层思维型题目（如开放题），而是在记忆型题目和高层思维型题目两个“极端”之间保持“平衡”，真正使学生的数学学习循序渐进、“变”中得“进”，融会贯通，从而达到减负增效的作用。
一道数学压轴题的思路来源
我的思考一、本题是该命题老师其常用构题思想（我多年观察后的体会）的体现：利用基本图形合成试题背景、运用图形的运动构造试题，本题的背景是两个3:4:5的直角三角形的拼接，然后是一个等角的旋转，由此产生了一组经典的相似三角形：△ABE∽△ACF，然而这竟触动了我对于另一老题的新的诠释，大家看：
例：如图，E是正方形ABCD边AB上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。求证：DE=EF。
解析：右图是本例最经典的解法，在AD上截取DG=EB，联结GE，由于AD=AB，不难发现△GAE是等腰直角三角形，从而可得∠DGE=135°，又因为∠EBF=135°，所以∠DGE=∠EBF，从而证明了△DGE≌△EBF
现在换一个视角看问题，由结论倒退由于需证明的是DE=EF，所以连接DF，△DEF自然是一个等腰直角三角形，∠EDF=45°，再连接DB呢？以下将详细证明此题
证：连接DB、DF
∵在正方形ABCD中，∴ BD平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠DBC=45°同理∠ADB=45°
∵ BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∴∠DBF=90°
∵∠DEF=90°，∴点D、E、B、F四点共圆，∴∠BDF=∠BEF ∵∠BEF+∠DEF=∠A+∠ADE，∠DEF=∠A=90°，∴∠BEF=∠ADE
∴∠BDF=∠ADE，∴∠EDF=∠ADB=45°，∴∠DFE=45°=∠EDF，∴ DE=EF 剖析自己的思索的过程，在陈永明教授著《数学习题教学研究》一书中称之为“联想”，而之所以我能这么“联想”是因为我分析了原题图形的基本特征（此岸），熟悉另一问题的大致背景（彼岸），并且从中找到了部分共同的特点，从而进行了尝试， 所以从这道题我自己的经历看，能进行合理“联想”有三个要素： ①熟悉“此岸”与“彼岸”；②发现共同要素；③动手尝试。
我的思考二：经我高手同事的点拨，我发现本例第三问的“GA=EG”这一情况有比我视频中介绍的更巧妙的方法，大家看下图，GA=EG→∠EAG=∠AEG=∠D=∠DCG，得AE∥CD结合AD∥EC可知四边形AECD是平行四边形，EC=AD=9
其实这个平行四边形很难看出来，原因是原图不像平行四边形！现在的问题是：如何从不准的图中发现特殊图形关系？有人说，图不准就画一个准的呗？这是典型站着说话不腰疼，学生怎么就能“剧透”得知准的图长什么样？
对此我的思考是：①要求学生做题时，标注条件（如下图）；
②平时课上就要训练学生看不太准确的图，并要求把题目条件标注在图上后，看图回答“看到?想到?”，如本例，看到∠BAC=∠AEC想到相似、看到∠AEC=∠DCG想到平行。