?cos[(t?x)?]．
23（3）t = 1s时刻的波形方程为
??1 0.5 y/m u 5?y?cos(x?)，
26?O 2/3 x/m -1 波形曲线如图所示．
5．9 在波的传播路程上有A和B两点，都做简谐振动，B点的位相比A点落后π/6，已知A和B之间的距离为2.0cm，振动周期为2.0s．求波速u和波长λ．
[解答] 设波动方程为：y?Acos[2?(那么A和B两点的振动方程分别为：
tx?)??]， T?tyA?Acos[2?(?TtyB?Acos[2?(?TxA?xB)??]，
?)??]． xB两点之间的位相差为：?2???(?2?xA?)???6，
由于xB – xA = 0.02m，所以波长为：λ = 0.24(m)．
波速为：u = λ/T = 0.12(m·s-1)．
5．10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s-1沿x轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3cos4πt．
（1）如以A点为坐标原点，写出波动方程；
8m 5m 9m （2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程． B A x C D [解答]（1）以A点为坐标原点，波动方程为 图5.10
x?xy?3cos4?(t?)?3cos(4?t?)．
u5（2）以B点为坐标原点，波动方程为
y?3cos4?(t?x?xA)?3cos(4?t??x??)． u5（3）以A点为坐标原点，则xB = -5m、xC = -13m、xD = 9m，各点的振动方程为
yB?3cos4?(t?xB)?3cos(4?t??)， ux3?yC?3cos4?(t?C)?3cos(4?t?)，
u5x9?yD?3cos4?(t?D)?3cos(4?t?)．
u5[注意]以B点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程．
5．11 一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s-1，振幅A = 1.0×10-4m，频率ν= 103Hz．若该媒质的密度为800kg·m-3，求：
（1）该波的平均能流密度；
（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量． [解答]（1）质点的圆频率为：ω = 2πv = 6.283×103(rad·s-1)， 波的平均能量密度为：w?1??2A2= 158(J·m-3)， 2平均能流密度为：I?wu= 1.58×105(W·m-2)．
（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量为：E = ItS = 3.79×103(J)．
5．12 一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s-1，频率为500Hz．到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度ρ = 1.29kg·m-3．
[解答]质点的圆频率为：ω = 2πv = 3.142×103(rad·s-1)， 声波的平均能量密度为：w?1??2A2= 6.37×10-6(J·m-3)， 2平均能流密度为：I?wu= 2.16×10-3(W·m-2)， 标准声强为：I0 = 1×10-12(W·m-2)， 此声强的分贝数为：L?10lgI= 93.4(dB)． I0
5．13 设空气中声速为330m·s-1．一列火车以30m·s-1的速度行驶，机车上汽笛的频率为600Hz．一静止的观察者在机车的正前方和机车驶过其身后所听到的频率分别是多少？如果观察者以速度10m·s-1与这列火车相向运动，在上述两个位置，他听到的声音频率分别是多少？
[解答]取声速的方向为正，多谱勒频率公式可统一表示为
?B?u?uB?S， u?uS其中vS表示声源的频率，u表示声速，uB表示观察者的速度，uS表示声源的速度，vB表示观察者接收的频率．
（1）当观察者静止时，uB = 0，火车驶来时其速度方向与声速方向相同，uS = 30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?u330?S?600= 660(Hz)． u?uS330?30u330?S?600= 550(Hz)． u?uS330?30u?uB330?10?S?600= 680(Hz)． u?uS330?30u?uB330?10?S?600= 533(Hz)． u?uS330?30火车驶去时其速度方向与声速方向相反，uS = -30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?（2）当观察者与火车靠近时，观察者的速度方向与声速相反，uB = -10m·s-1；火车速度方向与声速方向相同，uS = 30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?当观察者与火车远离时，观察者的速度方向与声速相同，uB = 10m·s-1；火车速度方向与声速方向相反，uS = -30m·s-1，观察者听到的频率为
?B?[注意]这类题目涉及声速、声源的速度和观察者的速度，规定方向之后将公式统一起来，很容易判别速度方向，给计算带来了方便．
5．14．一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m·s-1速率向右运动．在其右方有一反射面相对地面以65m·s-1的速率向左运动．设空气中声速为331m·s-1．求：
（1）声源在空气中发出的声音的波长； （2）反射回的声音的频率和波长．
[解答]（1）声音在声源垂直方向的波长为：λ0 = uT0 = u/ν0 = 331/1080 = 0.306(m)； 在声源前方的波长为：λ1 = λ0 - usT0 = uT0 - usT0 = (u - us)/ν0 = (331-30)/1080 = 0.2787(m)； 在声源后方的波长为：λ2 = λ0 + usT0 = uT0 + usT0 = (u + us)/ν0
u = (331+30)/1080 = 0.3343(m)．
（2）反射面接收到的频率为 uS uB ?1?u?uB331?65?0??1080 u?uS331?30u = 1421(Hz)．
将反射面作为波源，其频率为ν1，反射声音的频率为
?1`?u331?1??1421= 1768(Hz)． u?uB331?65u?u uB 反射声音的波长为
?1`?uB?1?1??u?uB?1?331?65=0.1872(m)．
1421或者 ?1`??1`331= 0.1872(m)． 1768[注意]如果用下式计算波长
?1`??1?uB?1?0.2787?65=0.2330(m)， 1768结果就是错误的．当反射面不动时，作为波源发出的波长为u/ν1 = 0.2330m，而不是入射的波长λ1．
5.15 S1与S2为两相干波源，相距1/4个波长，S1比S2的位相超前π/2．问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的振幅如何？在S2外侧各点的振幅如何？
[解答]如图所示，设S1在其左侧产生的波的波动方程为
x λ/4 x txy1?Acos[2?(?)??]，
x T?S1 S2
那么S2在S1左侧产生的波的波动方程为
tx??/4?txy2?Acos[2?(?)???]?Acos[2?(?)????]，
T?2T?由于两波源在任意点x产生振动反相，所以合振幅为零．
S1在S2右侧产生的波的波动方程为
txy1?Acos[2?(?)??]，
T?那么S2在其右侧产生的波的波动方程为
tx??/4?txy2?Acos[2?(?)???]?Acos[2?(?)??]，
T?2T?由于两波源在任意点x产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍．
5.16 两相干波源S1与S2相距5m，其振幅相等，频率都是100Hz，位相差为π；波在媒质中的传播速度为400m·s-1，试以S1S2连线为坐标轴x，以S1S2连线中点为
x l 原点，求S1S2间因干涉而静止的各点的坐标．
[解答]如图所示，设S1在其右侧产生的波的波动方程为 x O S2 S1
x?l/2)??] u?5??Acos(2??t?x???)，
24y1?Acos[2??(t?那么S2在其左侧产生的波的波动方程为
y2?Acos[2??(t?x?l/2??)????]?Acos(2??t?x???)． u24两个振动的相差为Δθ = πx + π，
当Δθ = (2k + 1)π时，质点由于两波干涉而静止，静止点为x = 2k， k为整数，但必须使x的值在-l/2到l/2之间，即-2.5到2.5之间．
当k = -1、0和1时，可得静止点的坐标为：x = -2、0和2(m)．
5.17 设入射波的表达式为
txy1?Acos2?(?)，
T?在x = 0处发生反射，反射点为一自由端，求：
（1）反射波的表达式； （2）合成驻波的表达式．
[解答]（1）由于反射点为自由端，所以没有半波损失，反射波的波动方程为
txy2?Acos2?(?)．
T?（2）合成波为y = y1 + y2，将三角函数展开得
y?2Acos
2??xcos2?t，这是驻波的方程． T5.18 两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为：y1?6.0cos?2(0.02x?8.0t)，
y2?6.0cos?2(0.02x?8.0t)，用厘米、克、秒（cm,g,s）制单位，求：（1）各波的频率，波长、波速；
（2）节点的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？
[解答]（1）两波可表示为：
y1?6.0cos2?(txtx?)，y2?6.0cos2?(?)， 0.52000.5200可知它们的周期都为：T = 0.5(s)，频率为：v = 1/T = 2(Hz)；波长为：λ = 200(cm)；
波速为：u = λ/T = 400(cm·s-1)．
（2）位相差Δθ = πx/50，
当Δθ = (2k + 1)π时，可得节点的位置x = 50(2k + 1)(cm)，(k = 0，1，2，…)．
（3）当Δθ = 2kπ时，可得波腹的位置x = 100k(cm)，(k = 0，1，2，…)．
第六章 光的干涉
6.1 在空气中做杨氏双缝干涉实验，缝间距为d = 0.6mm，观察屏至双缝间距为D = 2.5m，今测得第3级明纹与零级明纹对双缝中心的张角为2.724×10-3rad，求入射光波长及相邻明纹间距．
[解答]根据双缝干涉公式sinθ = δ/d，其中sinθ≈θ，d = kλ = 3λ，可得波长为 λ = dsinθ/k = 5.448×10-4(mm) = 544.8(nm)．
再用公式sinθ = λ/d = Δx/D，得相邻明纹的间距为 Δx = λD/d = 2.27(mm)．
[注意]当θ是第一级明纹的张角时，结合干涉图形，用公式sinθ = λ/d = Δx/D很容易记忆和推导条纹间隔公式．
6.2 如图所示，平行单色光垂直照射到某薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，设薄膜厚度为e，n1>n2，n2 由于n1>n2，所以光从薄膜上表面反射时没有半波损失；由于n1>n2，所以光从n (1) 2薄膜下表面反射时会产生半波损失，所以两束光的光程差为 n3 δ = 2n2e +λ0/2， 图6.2 位相差为：???2? 2ne?n1?/2?． ?2?2?0n1?6.3用某透明介质盖在双缝干涉装置中的一条缝，此时，屏上零级明纹移至原来的第5条明纹处，若 入射光波长为589.3nm，介质折射率n = 1.58，求此透明介质膜的厚度． [解答]加上介质膜之后，就有附加的光程差δ = (n – 1)e， 当δ = 5λ时，膜的厚度为：e = 5λ/(n – 1) = 5080(nm) = 5.08(μm)． 6.4 为测量在硅表面的保护层SiO2的厚度，可将SiO2的表面磨成劈尖状，如图所示，现用波长λ = 644.0nm的镉灯垂直照射，一共观察到8根明纹，求SiO2的厚度． λ [解答]由于SiO2的折射率比空气的大，比Si的小，所以半波损失抵消了，光n1=1.00 SiO2 程差为：δ = 2ne． n=1.50 第一条明纹在劈尖的棱上，8根明纹只有7个间隔，所以光程差为：δ = 7λ． n2=3.42 Si SiO2的厚度为：e = 7λ/2n = 1503(nm) = 1.503(μm)． 图6.4 6.5 折射率为1.50的两块标准平板玻璃间形成一个劈尖，用波长λ = 5004nm的 单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．当劈尖内充满n = 1.40的液体时，相邻明纹间距比劈尖内是空气时的间距缩小Δl = 0.1mm，求劈尖角θ应是多少？ [解答]空气的折射率用n0表示，相邻明纹之间的空气的厚度差为 Δe0 = λ/2n0； 明纹之间的距离用ΔL0表示，则：Δe0 = θΔL0， 因此：λ/2n0 = θΔL0． 当劈尖内充满液体时，相邻明纹之间的液体的厚度差为：Δe = λ/2n； 明纹之间的距离用ΔL表示，则：Δe = θΔL， 因此：λ/2n = θΔL． 由题意得Δl = ΔL0 – ΔL，所以劈尖角为 ???(n?n0)11= 7.14×10-4(rad)． ?)?2?ln0n2?lnn0?( 平面镜 6.6 某平凹柱面镜和平面镜之间构成一空气隙，用单色光垂直照射，可得何 种形状的的干涉条纹，条纹级次高低的大致分布如何？ [解答]这种情况可得平行的干涉条纹，两边条纹级次低，越往中间条纹级次柱面镜 越高，空气厚度增加越慢，条纹越来越稀． 图6.6 6.7设牛顿环实验中平凸透镜和平板玻璃间有一小间隙e0，充以折射率n为1.33的某种透明液体，设平凸透镜曲率半径为R，用波长为λ0的单色光垂直照射，求第k级明纹的半径． [解答] 第k级明纹的半径用rk表示，则 2 rk = R2 – (R – e)2 = 2eR． 光程差为δ = 2n(e + e0) + λ0/2 = kλ0， R 1?λ 解得2e?(k?)0?2e0， λ 2nr 半径为： e e0 1?0rk?[(k?)?2e0]R． 图6.7 2n 6.8 白光照射到折射率为1.33的肥皂上（肥皂膜置于空气中，若从正面垂直方向观察，皂膜呈黄色（波长λ = 590.5nm），问膜的最小厚度是多少？ [解答]等倾干涉光程差为：δ = 2ndcosγ + δ`， 从下面垂直方向观察时，入射角和折射角都为零，即γ = 0；由于肥皂膜上下两面都是空气，所以附加光