一、教学方针：
（1）认识自然数、整数、倍数、因数；
(2)认识奇数和双数，掌握2，3，5的倍数的特征。
(3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
(4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。 （5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。
二、根蒂根基知识讲解：
●自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
要是a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。 ●能被2，3，5整除的数的特征：
2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8的数 5的倍数特征：个位是0，5的数
3或9的倍数特征：各个数位上的数码之和能被3或9整除。 4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。
8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。
11的倍数的特征：奇数位的数码之和与双数位上的数码之和的差是11的倍数。 ●奇数与双数：能被2整除的数叫双数，不能被2整除的数叫奇数。
质数与合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数）。一个数除了1和它本身外，另有另外因数，这个数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 ●最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。 特殊情况：倍数瓜葛：（m，n）=m [m，n]=n （n是m的倍数） 互质瓜葛：（m，n）=1 [m，n]=mn 3、经典例题：
例1：下列哪些式子是整除式？
（1）8.8÷1.1=8 （2）130÷10=13 （3）29÷7=4……1 （4）14÷5=2.4
分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必需是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。 例2：写出24的因数和倍数。
分析与解：因为1×24=24 2×12=24 3×8=24 4×6=24 所以24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 因为24×1=24，24×2=48，24×3=72，24×4=96…… 所以24的倍数有24，48，72，96……
例3：一个数万位上是最小的合数，百位上是最大的一位数，个位上是最小的质数，百分位上的数既不是质数也不是合数，其余数位的数码是零，这个数是多少？
分析与解：最小的合数是4，最大的一位数是9，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1。所以这个数是40902.01。 例4：1路汽车每隔3分钟发一次车，3路汽车每隔5分钟发一次车。这两路车同时发车后，至少再过多少分钟后又同时发车？
分析与解：1路汽车每隔3分钟发一次车，就是指发车时间是3的倍数，3路汽车每隔5分钟发一次车，就是指发车时间是5的倍数。至少再过多少分钟又同时发车一次，只要求是3
1
和5的最小公倍数便可。
[3，5]=15。
答：至少再过15分钟后又同时发车。 例5：小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方，最后没有多余，请问这些正方的边长是多少？一共可以折出多少个正方？
分析与解：要想使最后没有多余，那么正方的边长必需是36的因数，也必需是24的因数，这些因数里最大的一个就是正方的边长。 （36，24）=12 36÷12=3 24÷12=2 3╳2=6
答：这些正方的边长是12厘米，一共可以折出六个正方。
例6：为庆六一，六年级同学买来336枝红花，252枝黄花，210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少束同样的花？在每束花中，红、黄、粉三种花共有几枝？
分析与解：要使每一束花的花束最多，并且没有剩余，就是求每束花的最大公因数。 （336，252，210）=42
336÷42=8 252÷42=6 210÷42=5
8+6+5=19（支）
答：这些花可以扎成每束最多42束同样的花，在每束花中，红、黄、粉三种花共有19支。 4、数学思惟方法总结：
在实际应用时,怎样区分是求最大公因数还是求最小公倍数,成为很多学生的难题.其实,可以把问题模型化,画一些简单的示意图就可解决.例如把一个长方形裁成若干个边长最大的正方,动手一画,就发现是要求长与宽的最大公因数.把若干个长方形拼成一个边长最小的正方,动手一画,就发现是要求长与宽的最小公倍数. 5、设计构想：
<倍数与因数>的知识点相当多,概念特别容易混合,建议同学们把这部分知识收拾整顿成知识树,理清它们的区分与联系。本单元的题型也很多，通过各类各样的题型练习，同学们可以学会怎样审题，找到具体问题与实际知识点之间的联系。 六、巩固练习：
一、写一个能同时被4和25整除的最小五位数。
分析与提示：4和25是互质数，同时能被4和25整除的数一定是100的倍数，这个最小五位数是10000。
二、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合，甲齿轮有28个齿，乙齿轮有42个齿，当这两个齿轮第二次咬应时，乙齿轮转了几圈？ 分析与提示：[28，42]=84 84÷42=2
答：乙齿轮转了2圈。
3、（1）A和B都是自然数，若A÷B=10，那么A与B的最大公因数是（ ）， 最小公倍数是（ ）。
（2）若A=3×2×5×7 B=3×5×2×11，则A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 分析与提示：（1）A和B是倍数瓜葛时，且A大于B，A与B的最大公因数是B，最小公倍数是A。
2
（2）A和B的最大公因数是3×2×5=30，最小公倍数是3×2×5×7×11=2310。 4、有两个数，它们的最大公因数是15，最小公倍数是225，其中一个数是45，另一个数是多少？ 分析与提示：两个数的积等于这两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数。所以另一个数是15×225÷45=75。
5、有两个数，其中的一个数是另一个数的，已经知它们的最小公倍数是54，那么这两个数的最大公因数是多少？
分析与提示：将“其中的一个数是另一个数的”这句话进行转化得：“另一个数是这个数的3倍”，可发现，当两个数是倍数瓜葛时，它们的最小公倍数就是较大的那个数，所以这两个数分别是54和18，它们的最大公因数是18。
六、长和宽为自然数，平面或物体表面的大为105的形状不同的长方形共有多少种？ 分析与提示：因为105=1╳105=3╳35=5╳21=7╳15
可把每一组数据当做长方形的长和宽，故有5种。
7、一个长方形的平面或物体表面的大是240平方厘米，长和宽是相邻的两个自然数，这个长方形的周长是多少厘米？
分析与提示：240=15╳16，所以这个长方形的周长是（15+16）╳2=62厘米。 8、把14、33、六、55、35、49这六个数均等分成两组，使这两组数各自的积相称。 分析与提示：先把这六个数分解质因数： 14=2╳7 33=3╳11 6=2╳3
55=5╳11 35=5╳7 49=7╳7
在这六个因式中，共有2个2，2个3，2个5，2个11，4个7。 所以这两组只能是49，6，55和14，35，33。 二、数学能力的拓展与提高。
一、数学思维方法的讲解。
（1）在求公倍数时，每3天去一次与每隔3天去一次并纷歧样，要注意区分。
（2）求一个数的因数有多少个，有一个公式，请同学们掌握，同时可以用来检验找因数时是否有遗漏的情况。
二、数学思维方法的应用。
例1：若A=32×54×75，那么A有多少个因数？
分析与解：A的因数含有因数3的有3种情况，含有因数5的有5种情况，含有因数的有6种情况，搭配起来，共有3╳5╳6=90种情况。 答：A有90个因数。
由上题我们可发现求因数个数的计算方法：
若A分解因式的结果是： A=am×bn×……×cp
那么A的因数有（m+1）×（n+1）×……×（p+1）个。
例2：有0，1，5，7，6五张卡片，从中选出四张组成一个四位数，使得这个数能被2整除，又能被3整除，这个数最大是多少？
分析与解：先选择较大的数。若选择7，6，5，1四个数，不管组成的数是多少，都不能被3整除，故选择7，6，5，0四个数码，这个数最大是7650，它既能被2整除，又能被3
3
整除。
例3：六年级72名学生共捐款（ ）85.9（）元，若每人捐款的数量两样多，请你猜测每人捐了多少钱？
分析与解：因为72=8×9，8和9互质，所以（ ）859（ ）这个数一定是8和9的倍数。 若是8的倍数，那么59（ ）一定是8的倍数，只有592是8的倍数。 若是9的倍数，8+5+9+2=24，只有24+3=27，所以这个数只能是38592。 385.92÷72=5.36(元)
答:可猜测出每人捐人5.36元。
例4：某班学生人数在40与50之间。要是分成6人一组，那么有一个小组少4人；要是分成8个人一组，那么有4个小组各多一人。求这个班的人数。
分析与解：先假设这个班的人恰好可分成6人一组，也恰好可分成8人一组，那么这个班的人数就是8和6的公倍数，在40-50之间的数满足这个条件的只有48，尝试一下： 48-4=44
44÷8=5……4 满足条件。
答：这个班的人数是44人。
例5：从学校到少年宫的路上，一共有37根电线杆，原来每2根电线杆之间相距50米，现在要改成每2根之间相距60米，除两端的2根不需移动外，中间另有多少根不必移动？ 分析与解：先求出学校到少年宫的旅程： （37-1）×50=1800（米） [50，60]=300
所以第300米、600米、900米、1200米、1500米处的电线杆不必移动。 答：中间有5根不需要移动。 3、巩固练习：
一、一个最简分数，分子、分母的和是50，要是把这个分数的分子、分母都减去5，所得分数的值是，原来的分数是（ ）。 A、 B、 C、 D、
分析与提示：原来分数的分子与分母的和是50，把这个分数的分子和分母都减去5后，现在分子与分母的和是40，分数的值是，现在分数的分子是40÷5╳2=16，分母是24，原来的分数是，故选择B。
二、警察查找一辆肇事汽车商标（四位数），一位目击者对数码很敏感。他提供说：“第一位数码最小，最后两位数是最大的两位双数，前两位数码的乘积的4倍刚好比后两位数少2。“你能帮警察叔叔猜出这个车商标吗？
分析与提示：最大的两位双数是98，倒推法得到前两位数是（98-2）÷4=24。所以这个车商标码是2498。
3、一个能被2和3同时整除的四位数，它的千位上的数既然奇数又是合数，它的百位上的数不是质数也不是合数，它的十位上的数是最小的质数，个位上的数是多少？
分析与提示：千位上的数是9，百位上的数是1，十位上数是2，同时又因为这个四位数能同时能被2和3整除，所以个位上的数可能是0或6。
4、一筐苹果不超过250个，3个3个地数，5个5个地数，7个7个地数恰好数完。这筐苹果最多有多少个？
分析与提示：这筐苹果绝对是3的倍数，5的倍数，7的倍数。[3，5，7]=105，在250以内，这堆苹果最多有210个。
5、商店里有6箱货物，分别重16，17，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的5
4
箱。已经知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍。问：商店里剩下的1箱货物重多少千克？
分析与提示：这6箱货物共重16+17+18+19+20+31=121千克，因为一个顾客的货物是另一个顾客的2倍，这两个顾客买走了其中的5箱货物总重一定是3的倍数，只有121-16=105，121-19=102，121-31=90满足条件。 105÷3=35 35=17+18 满足要求； 102÷3=34 34=16+18 满足要求；
90÷3=30 不满足要求；
答：商店里剩下的1箱货物重16千克或19千克。
六、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点儿同时同向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？ 分析与提示：甲跑一圈需要时间：600÷3=200（秒） 乙跑一圈需要时间：600÷4=150（秒） 丙跑一圈需要时间：600÷2=300（秒） [200，150，300]=600
答：经过600秒三人又同时从出发点出发。
7、500位同学站成一排，从左到右数“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报3的留下，向左看齐再重复同样的报数过程，如此进行了若干次后，只有两位同学了，这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个？
分析与提示：首届报数留下的人是3，6，9，12，……恰好是3的倍数。 第二次报数留下的人是9，18，27，……恰好是9的倍数。
第三次报数留下的人是27，54，81，……恰好是27的倍数。 第四次报数留下的人是81，162，243，……恰好是81的倍数。 第五次报数留下的人是243，486号同学。
答：这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第243号和第486号。 三、数学思维训练。 一、经典例题：
例1：在六位数568□□□的方框中填入三个数码，使这个六位数能被3，4，5整除。求满足条件的最小的六位数。
分析与解：设六位数为568ABC，因为六位数分别是3，4，5的倍数，所以： （1）5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍数，即A+B+C被3除余2。 （2）BC 是4的倍数。
（3）C=0或5。
由此可知，C=0，且B是0，2，4，6，8之一。
由于要求最小的六位数，所以A从最小数开始实验，有A=0、B=2时满足条件。所以所求的六位数为568020。
例2：已经知七位数92AB427能被99整除，求这个七位数。
分析与解：因为99=9╳11，且9和11互质，所以所求的七位数要能被9和11整除。有： （1）9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍数，得： A+B=3或 A+B=12
（2）9+4+7+A-（2+2+B）=16+A-B是11的倍数，得： A-B=6或 B-A=5，
对比条件可知，只有当A+B=12，A-B=6时，A、B有解： A=9 ，B=3
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