同济大学本科课程期终考试统一命题纸 A卷
2007—2008学年第 二 学期
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。 （ ） （2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。 （ ） （3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。 （ ） （4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。 （ ） （5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
（ ）
（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。 （ ） （7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。 （ ） （8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。
数进行应力插值。
（ ）
（ ）
（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 （ ） 二．单项选择题（共20分，每小题2分）
1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为________________。
（A）配点法 （B）子域法 （C）伽辽金法
2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数 （B）单元结点自由度数 （C）场变量个数
4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解 （B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡 （D）没有规律
5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是______完全多项式。
（A）m-1次 （B）m次 （C）2m-1次
6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。
（A）上三角矩阵 （B）下三角矩阵 （C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。
（A）对称应力 （B）反对称应力 （C）对称位移 （D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号 （B）单元组集次序 （C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n
10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性 （B）稀疏性 （C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分）
1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。
2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。
4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。
四．计算题（共40分，每题20分）
1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比??0；单元的边
长及结点编号见图中所示。求
2(1) 形函数矩阵N
(2) 应变矩阵B和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵Ke
3
1 a 图1 2、图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为t，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为1N/m2，同时在y方向相应的两顶点处分别承受大小为2N/m且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为E，泊松比??0。试求
(1) 利用对称性，取图（b）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小
相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。 (2) 设单元结点的局部编号分别为i、j、m，为使每个单元刚度矩阵Ke相同，试在
图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵Ke。 (3) 计算等效结点荷载。
(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。
（a）
图2
（b）
a