点集拓扑学练习题
一、单项选择题
1、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ② ）是X上的拓扑. ① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}}
③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 2、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. ① T?{X,?,{b},{c},{a,b}} ② T?{X,?,{a},{b},{a,b},{a,c}}
③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：② 3、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. ① T?{X,?,{a},{b},{b,c}} ② T?{X,?,{a,b},{b,c}}
③ T?{X,?,{a},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：③
4、设X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集个数（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
5、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
6、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
7、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b},{a,b},{b,c}},X的既开又闭的非空真子集个数（① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
8、在实数空间中，有理数集Q的边界?(Q)是（ ） ① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 9、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④
10、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B
1
） ） ）
③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③
11、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B
③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ①
12、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① d(A?B)?A?B ② A?B?A?B
③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ d(d(A))?A?d(A) 答案: ④
13、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① d(A)?? ② d(A)?X?A
③ d(A)?A ④ d(A)?X 答案：①
14、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ） ① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X?A
③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X 答案：④ 15、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X
③ 若A={x1,x2},则d(A)?X?A ④ 若A?{x1,x2},则d(A)?A 答案：① 16、设X?{a,b,c,d}，令B?{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（ ） ① { X,?,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,?,{c},{d},{c,d}}
③ { X,?,{c},{a,b,c}} ④ { X,?,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：①
17、设X是至少含有两个元素的集合，p?X,T?{G?X|p?G}?{?} 是X的拓扑，则（是T的基.
① B?{{p,x}|x?X?{p}} ② B?{{x}|x?X}
③ B?{{p,x}|x?X} ④ B?{{x}|x?X?{p}} 答案：③ 18、 设X?{a,b,c},则下列X的拓扑中（ ）以S?{X,?,{a}}为子基. ① { X, ?,{a},{a,c}} ② {X, ?,{a}}
2
）
③ { X, ?,{a},{b},{a,b}} ④ {X,? }答案：②
19、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 20、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
11121、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则A＝（ ）
234①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③
22、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 23、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 24、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 25、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①X?T , ??T ② X?T ,??T ③当T??T时,
U?T?U?T ④ 当T??T时,
U?T?U?T 答案：③
1,2,3}26、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,2},则X的子空间A的拓扑
为( ) ① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,X,{1},{2},{1,2}} ③ T?{?,A,{1},{2}} ④ T?{?,X,{1},{2}} 答案：③
1,2,3}27、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1},则X的子空间A的拓扑为
( ) ① T?{?,{1}} ② T?{?,A,{1,2}} ③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}} 答案：①
28、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{3},则X的子空间A的拓扑为( ) ① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,{X},{1,3}} ③ T?{?,X,{3}} ④ T?{?,{3}} 答案：④ 29、有理数集Q是实数空间R的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集
3
③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 30、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y?Z?Y, 则Z为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：②
二、填空题
1、设X?{a,b},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?} 2、设X?{a,b},则X的离散拓扑为 ;答案：T?{X,?,{a},{b}} 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________. 答案： R
5、x?d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 答案： U?(A?{x})?? 6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ;答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;答案：X 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ;答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;答案：X
10、设X?{a,b,c},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?} 11、设X?{a,b,c},则X的离散拓扑为 答案：T?{X,?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}
2则X的子集A?{1,3 }的内部12、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{3},{,
为 ;答案：{3}
13、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入
14、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射
15、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f(U)是Y中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射
16、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是Y 4
中的一个闭集，则称映射f是一个 答案：闭映射
17、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；答案：不连通空间
18、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个 ; 答案：连通子集
19、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个 ；答案：不连通空间. 三．判断 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，都有
1f?（A)?X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.
2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2；
（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故
A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；
（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1,
?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；
综上有T1?T２也是X的拓扑．
3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ）答案:√ 理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p??A??p????，即p?d?A?,从而 d(A)??.
5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ）答案：×
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