理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而
X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所
以有d?A??X?A??.
6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ）答案：√ 理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所以有d?A??X. 四． 名词解释
1．同胚映射 答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和
f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.
2、集合A的聚点 答案：设A是拓扑空间X的一个子集，如果x?X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U(A?{x})??，则称点x是集合A的一个凝聚点。
3、集合A的内部 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.则集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部.
4．拓扑空间(X,T)的基 答案：设(X,T)是一个拓扑空间，B是T的一个子族.如果T中的每一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基.
5．闭包 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.集合A与集合A的导集d(A)的并A?d(A)称为集合A的闭包.
6. 拓扑性质 在同胚变换下保持不变的性质称为同胚性质.
7、导集 答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集. 8、不连通空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得
A?B?X,则称X是一个不连通空间.
11、A 1空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A 1空间.
12、A 2空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A 2空间.
13、可分空间 答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间. 14、Lindeloff空间： 答案：设X是一个拓扑空间．如果 X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindel?ff空间．
15．T0空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间.
15、T1空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一
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个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间.
16、T2空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间.
17、正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.
18、正规空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.
五．简答题
1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).
答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而
U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明gf:X?Z也是连续映射.
答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故f?1(g?1(W))是X的一开集，因此 (gf)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集，所以gf:X?Z是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集. 答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集. 答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此x?A,从而A?A,即有A?A，这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[0]},{[0],[1]}} 6、在实数空间R中给定如下等价关系:
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x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 六、证明题
1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X)?A?B 于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：
(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所
以
f?1(A),f?1(B)?1是
?1X的非
?1空隔离子集 此外，
f?1(?A)f(?B)?f(A?f(X)是Y的一不连通，矛盾.从而)B，这说明(f?X(f)X)X个连通子集.
2．设T 1,TT2也是X上的拓扑，并举例说明T1T2不1 2是拓扑空间X上的两个拓扑，证明：T是X的拓扑。
证明：1）.(1) T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T2，从而X,??T1T2；
(2) 对任意的A,B?T1T2，则有A,B?T1且A,B?T2，由于T1,T2是X的拓扑，
故AB?T1，且AB?T2，从而AB?T1T2；
(3) 对任意的T??T1T2，则T??T1,T??T2，由于T1,T2是X的拓扑，从而
?U?T’U?T1, ?U?T’U?T1,故?U?T’U? T1T2；
综上有T1T2也是X的拓扑．
2）. 设X?{a,b,c},T1?{{a},{b,c},{a,b,c},?}，易见，T2?{{b},{a,c},{a,b,c},?}，T1,T2都是X的拓扑，但是T1T2?{{a},{b},{a,c},{b,c},{a,b,c},?}，而{a},{b}?T1T2，
{a,b}?{a}{b}?T1T2，因此，T1T2不是X的拓扑。
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3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y)
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
A?Y??,则Y?B
4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此
Y?A?B
由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集.
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