计算水力学的学习笔记
第一章 绪论
1.1计算水力学的形成与发展
计算水力学的研究任务：研究各种水流问题的数值计算方法 举例：以各种离散化法（有限差分法、有限元法），建立各种数值模型，通过计算机
进行数值计算和数值试验，得到在时间上和空间上许多数字组成的集合体，最终获得定量描述流场的数值解。
计算水力学的特点是适应性强、应用面广。
数值计算的特点：一、依赖于基本方程的可靠性，且最终结果不能提供任何形式的解析式表达，只是有限个离散点上的数值解，并且有一定的计算误差
二、不像物理模型试验那样一开始能给出流动现象并且定性的描述，往往要由原体观测或者物理模型试验提供某些流动参数，并对建立的数学模型进行验证。 三、程序的编制与计算往往需要一定的技巧和经验。
数值计算与理论分析、观测以及实验三者相互独立又相互联系，主要用于解决复杂水流问题。
根据离散的原理不同，计算水力学可以分为两个分支：
一 、有限差分法（FDM） 再次基础上发展起来的PIC法、MAC法 有限分析法（FAM）
二、 有限单元法 （FEM） 在此基础上发展起来的边界元法和混合元法 1.2 水动力学基本方程
分为两类：一类是描述成恒定流（不包含时间变量而表达为边值问题）
另一类是描述成非恒定流（包含时间变量而表达为初值问题与边值的混合问题）
1.2.1三维流动的基本方程
1、连续方程 P3 式（1-2b）这是不可压缩流体的连续方程
2、动量方程 P4 式（1-3）
本构方程也就是应力与变形率的关系（1-4）P4 组成不同条件 由本构方程和连续方程代入动量方程得到N-S方程（1-5a）P5 下三维流动的 3、紊流的时均方程 也就是雷诺方程 （1-6）P5 基本方程
对于河口或者大型水库，可以假定压强沿水深的分布为静压分布，则可以得出垂向静压分布假定的三维流动基本方程：P7 （1-7）
对于大面积的湖泊或者水库，往往需要考虑地球自转引起的哥氏力的作用 得到的方程为（1-8b）
1.2.2在静压分布的假设下，沿水深平均的二维流动基本方程
对于水平尺度远大于垂直尺度的河道和湖泊水流，将略去物理量沿水深的变化，得到沿水深平均的二维流动基本方程式子（1-10）
对于浅型湖泊及潮汐河口流场的计算当中，以自由水面的相对高度作为变量，此时可将二维流动基本方程变为（1-11）（1-12） 1.2.3 渐变总流的一维基本方程 （圣维南方程） 适用于求非恒定流的流量以及水位随流程和时间的变化
明槽一维流动的连续方程为1-13，动量方程1-14 1.2.4 涡量方程 用于分析有涡流动，以涡量作为基本变量，其特点是不出现压强项，可直接求出涡量场。
涡量的定义为 1-15
对于不可压缩流体涡量的计算方程为P11 1-18 涡量流函数表达式 1-21 1-22 P12 1.2.5 浓度传输方程
质量浓度：单位体积中流体的溶质含量
1-24 为流动情况的移流扩散方程。是在层流情况下有分子扩散作用下扩散质的浓度的时空变化规律。稳流扩散方程 1-26是对1-24做是均匀算得到的结果 1.2.6 热传输方程
傅里叶热传导定理：1-27
水流中的热传输方程：1-28 二维形态下的表达式 1-29 1.2.7 通用微分方程
P15 1-30 这是一个通用的公式，表1-1对应着通用形式表达连续方程、动量方程、雷诺方程、浓度传输方程、热传输方程时，各项对应的量。
对于一般形式的微分方程，经过适当的数学处理，先将方程当中的因变量，时变项，对流项和扩散项写成标准形式，再将方程右端的其余各项集中在一起定义为源项，便可化为通用微分方程，这样只需考虑通用微分方程（1-30）的数值解，写出其源程序，就足以求解不同类型的水流和传输问题，对于不同的变量重复调用该程序，并且给定扩散系数和源项的表达式，以及适当的初始条件和便捷条件，便可求解。 数值计算：有效使用数字计算机求数学问题近似解的方法与过程，以及由相关理论构成的学科。数值计算主要研究如何利用计算机更好的解决各种数学问题，包括连续系统离散化和离散形方程的求解，并考虑误差、收敛性和稳定性等问题。从数学类型分，数值运算的研究领域包括数值逼近、数值微分和数值积分、数值代数、最优化方法、常微分方程数值解法、积分方程数值解法、偏微分方程数值解法、计算几何、计算概率统计等。随着计算机的广泛应用和发展，许多计算领域的问题，如计算物理、计算力学、计算化学、计算经济学等都可归结为数值计算问题。 数值计算的特点：
1、 数值计算的结果是离散的，并且有一定的误差，这是数值方法区别于解析法的主要特征
2、 注重计算的稳定性。控制误差的增长势头，保证计算过程的稳定时数值计算方
法的核心任务之一 3、 注重快捷的计算速度和高计算精度是数值计算的重要特征 4、 注重构造性证明
1.3 方程的分类及其定解条件 1.3.1守恒型方程
对流项为散度形式的微分方程为守恒方程。作为微分方程，守恒型式和非守恒型式是一样的，但是在差分计算的时候，前者更能保持物理量守恒的性质，便于克服由对流项非线性引起的问题，便于采用非矩形网格离散，缺点是不便于对微分方程和离散格式进行理论分析。 1.3.2方程的分类
特征方向根据特征方程的根的判别式值为正、负或者0，特征方向分别是两个不同的实方向，相同的实方向或非实方向三种。相应于两类特征曲线的方程为二阶双曲方程，称为波动方程，相应于一个特征方向的方程为对流扩散方程；相应于无实特征方向的方程为椭圆型方程。 1.3.3
单程坐标：如果某坐标中给定位置的条件只受到该位置一侧条件变化的影响，该坐标为单程坐标。
双程坐标：如果某坐标中给定位置的条件受到该位置两侧条件变化的影响，该坐标为双程坐标。
数学上所谓的抛物型对应于坐标的单程性质，椭圆型意味着坐标的双程性质。 非恒定热传导问题：时间坐标中是抛物型问题，空间坐标中是椭圆型问题。 恒定热传导问题：时间坐标和空间坐标中都是椭圆型问题。
二维边界层：在流线方向的坐标中是抛物型问题，在垂直于流线的坐标中是椭圆型问题。
在水流运输现象中规定：如果至少存在一个单程坐标，则称该问题为抛物型问题，反之为椭圆型问题。 1.3.4水动力学方程的模化
根据物理问题的特性对通用微分方程进行简化就是对方程的模化。例如1-44 和 1-45等等都是根据不同性质被模化的方程。其中1-47 1-48 1-50 分别属于双曲型、抛物型和椭圆型方程。 1.3.5模型方程的定解条件
1.椭圆型方程
椭圆型问题由于只存在双程空间坐标，属于椭圆型问题，也称边值问题。域上任意一点的解仅仅取决于边界上每一点的边界条件，方程在封闭域上求解，无需初始条件。边界条件的三种形式：1-52 1-53 1-54
给定边界条件时，可以完全给出本质边界或者同时给定两者的组合式，但是不能只给定自然边界。 2．抛物型方程
描述物理量传输和扩散的方程大多为抛物型方程，最简单的形式是一位扩散方程式1-48，在时间坐标中是抛物方程，在空间坐标中是椭圆方程。这类方程其定解条件必须有边界条件和初始条件。
初始条件：在全域上给定初始时刻的函数值
边界条件：在封闭域上给定，给定方法与椭圆型相同。 步进法：沿着某个单程坐标轴逐步推进的计算方法 3.双曲型方程 一阶形式 1-47 二阶形式1-58
双曲方程常在管道不定流即水击问题，明渠不定流（一位圣维南方程），洪水演进，河口潮流计算，常为初边值混合问题。只有初始条件时，其一阶形式定解条件见P28 二阶形式定解条件见P29。当既有初始条件又有边界条件时，一阶型定解式为1-68。
定解问题：偏微分方程正问题(即定解问题),是研究由偏微分方程描述某种物理过程或现象,并根据系统的状态变量的某些特定条件(包括初始条件，边界条件等)来确定整个系统的状态变量的变化规律，即研究状态的数学表达式。关于其详细问题见物理方程书：P12 第二章 有限差分法 （FEM法 另一文档P30）
概念：将求解域划分为差分网格，用有限个网格结点代替连续解得求解域（何谓求解域） ，然后将偏微分方程的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。求差分方程组的解，就作为微分方程定解问题的近似数值解法。我的理解
就是，将连续解离散化，通过对离散化连续解的求出，近似求出连续解。 2.1有限差分的逼近
2.1.1差分网格的划分
我理解的求解域相当于以前方程的值域，也就是我们要求的流量，流速之类的解，由于其连续性所以不好求的，现在将其划分为离散的值点，逐步求出离散点的值，近似等于连续解。
差分网格的划分就是在求解域的平面上划分网格，格距称为步长。步长大小根据稳定性决定。
2.1.2几种差商近似
差分法依据差商为微商的近似，微商是差商的极限。几种形式如下：
书上的见表达式差商
前差商（2-1）、后差商（2-2）中心差商（2-3）、二阶差商（2-4）一阶和二阶偏差商（2-5）（2-6）（2-7）
f(x??x)?f(x)?(?x)1!f(1)(x)?(?x)2!2f(2)(x)???(?x)n!(n)f(n)(x)?? （1）
f(1)(x)?f(x??x)?f(x)?x?0(?x)向前差分（一阶精度）
(??x)2!2f(x??x)?f(x)?(??x)1!f(1)(x)?f(2)(x)???(??x)n!(n)f(n)(x)??（2）
f(1)(x)?f(x??x)?f(x)??x?f(x)?f(x??x)?x?0(?x)向后差分（一阶精度）
2（1）-（2）得：度）
ff(1)(x)?f(x??x)?f(x??x)2?x?0(?x)中心差分（二阶精
(2)(x)?f(x??x)?2f(x)?f(x??x)(?x)2?0(?x)2（1）+（2）得：阶精度）
中心差分（二
逼近误差：用差商近似微商而带来的误差称为逼近误差。前差商的逼近误差表达式2-10 为一阶精度 后差商的逼近误差表达式为2-11 也为一阶精度 中心差商的表达式为2-12 为二阶精度 二阶差商的逼近误差表达式为2-13 也具有二阶精度 2.1.3 差分格式
将微分方程当中的每一微商用相应的差商来代替，就可以得到相应网格点上的差分方程式，也就是相应于值域某一个值的方程。 1、 差分方程式的构造 A格式 P39 B格式 P40 C格式 P40-41
2、 显式和隐式的差分格式
FTCS显格式（2-21）：n+1时层某节点的待求函数值完全能由格式图上n层上的已知点值确定。
FTCS隐格式（2-22）：已知n层上的一个已知量求n+1层上的三个未知量。 3、 截断误差与差分格式精度
截断误差（2-23）：微分方程的精确解带入差分方程与将精确解带入微分方程之差。 格式精度：P44
2.2 差分格式的相容性、收敛性、稳定性 差分法的基本问题： （1）将求解域划分为网络 （2）选择合适的差分格式
（3）分析差分解的相容性、稳定性和收敛性 （4）研究差分方程的求解方法 2．2．1相容性
定义：相容性说明某个差分方程是否能真正代替对应的微分方程。
如果不管时间步长和空间步长以怎样的方式趋向于零，其截断误差总是趋向于零则称差分方程与微分方程是无条件相融的，
关于条件相融具体见P45，意思是时间步长与空间步长必须满足一定的关系，差分方程与微分方程才会相融。
2.2.2收敛性
离散化误差微分方程精确解与差分方程精确解间的差叫离散化误差，当步长趋近于零时离散误差趋近于零。则称差分方程解收敛于微分方程解则该方程收敛否则不收敛，差分方程满足相融性不一定满足收敛性，收敛必相融 LAX等价性定理
对一定的线性初值问题相容性加稳定性等于收敛性。 2.2.3稳定性
舍入误差就是计算字长取有限位四舍五入，具体见P47-52
2.3双曲型方程的差分解法 2.3.1长系数方程初值问题
1.迎风格式：其基本思想史微分方程中的空间导数用偏在特征线方向一侧的差商来代替
2．蛙步格式：
3．LAX格式：其基本思想是利用特征线和线性插值如图 2-6所示 4．拉格斯-温得罗夫格式：
5．差分格式的数值效应
波的耗散：波幅随时间而衰减，有波能损耗。
波的弥散：不同波长的波数不同，则以不同的速度传播。
若方程中存在二阶导数项，且系数？》0，则出现耗散效应;若方程中存在三阶导数项，则出现弥散效应，称？为弥散系数；若兼有以上两种效应，则称扩散效应。 2.3.2常系数方程组 1.L-W显格式见P59 2. 交叉格式见P59-60 2.3.3拟线性方程组 1．特征线法