将拟线性方程组化成特征形式，沿特征线变为常微分方程，然后在构造差分格式。 具体见P61-63 2．人工粘性法
人工粘性法是在原来没有粘性项的差分格式中人为的加入粘性耗散项。 格式粘性法是通过某种差分格式间接地引入粘性扩散项。 2.4抛物型方程的差分解法 2.4.1一维初值问题 1. 四点显示P64（2-60） 2. 四点隐式P65（2-61）
3. 克兰克-尼克尔森格式具有二阶精度，且无条件稳定。为六点隐式，可用TDMA，即追赶法求解。具体P66
4.Richardson显格式虽然提高了精度但格式不稳定。
5．Dufort-Frankel格式是 Richardson 格式的改进形式，有条件相容的差分格式。 2.4.2一维混合问题
混合问题即给的初试条件即边界条件的问题具体见P67-69 2.4.3一维对流扩散方程
1．线性化方法
一是将对流项做线性化处理，二是常用的线性化方法见P70 2．预测-校正法
在非线性抛物方程中经常使用
1. 非守恒型式的|M格式具体算法见P70-71 2. 守恒型式的M格式
3. 隐式预测-校正格式具体见P72 2.4.4二维扩散方程
首先在求解域中剖分网格解法如下
1． 一维格式的推广见P73
2． 交替方向的隐式格式ADI法，PI法见P74 3． 稳定校正格式见P74-75
4． 局部一维法（LOD法）见P75 2．5椭圆形方程的差分方法 2.5.2差分格式
1．五点差分格式将按P77（2-91）
2．盒式积分法具体见P77-79
2.5.2不规则边界的处理要列出补充方程关于边界条件的介绍见P79-81
2.5.3边值问题差分解法的方程组求解
方程组可约就是方程组可分裂为n个小方程组，各个可以独立求解正因为椭圆形方程的差分边值问题必须是真正的联立方程组，网格结点计算量是很大的，通常对非线性问题都是用某种迭代过程来求解。对线性问题则可用直接法和迭代法，视具体问题而定。
1． 迭代法 1）．简单迭代法见P82（2-103）
2）高斯-赛德尔迭代法见P82（2-104）
3）超松弛迭代法（SOR法）见P82-83（2-106）
2．时间相关法 见P83-84缺点是并不一定存在恒定解。
第三章 有限元法（FEM法）
概念：有限元法是将一个连续的求解域任意的分成适当的形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理，将问题的控制微分方程化为控制所有单元的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上代求的函数值。有限元法德基础是极值原理和破分插值，它吸收了有限差分法中离散的内核又采用了变分计算中选择逼近函数并对区域进行积分的合理办法。
3.1变分原理的基础 3.1.1泛函与变分
简单的说， 泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来， 泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。
设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为П(y(x))，则П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。
泛函定义域内的函数为可取函数或容许函数， y(x) 称为泛函П的变量函数。 泛函П(y(x))与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。
泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。
泛函数的变分问题见P90 函数和泛函数之间的关系见P90 弱极值：函数值之差的绝对值为微量
强极值：不仅函数值之差的绝对值为微量，还有函数导数值之差的绝对值为微量
3.1.2 3.1.3
椭圆型方程的变分问题
将微分方程的定解问题变为求泛函数的极值问题 见P91式（3-5）（3-6）必须满足微分算子线性、正定、对称、自伴。椭圆型问题大都满足这几个条件。化为泛函数之后，自然边界条件已经包含在泛函的积分表达式中，就是第三类边界条件，化为泛函的优点是可以降阶，另一优点是将自然边界划入泛函表达式，只保留本质边界条件也就是第一类边界条件。
3.2 里兹法
3.2.1里兹法的思路
1、 将微分方程的定界问题化为等价的变分问题，即写出微分方程对应泛函的积分表达式。 2、 舍所求的变分问题不是放在任意曲线上来考虑，而是设置其近似解。见P95
（3-16） 3、 将式子（3-16）带入（3-5），使泛函变为多元函数，即（3-17），其中的基函数
是已经选定的，最终泛函数可以表达为待定系数的多元函数，（3-18） 4、 使求泛函数极值问题化为多元函数求极值问题，形成含有多个待定系数的线性方程组 则最终要求的袋鼠方程组表达式为（3-19）或者为（3-20）并且可以表达为矩阵形式 5、 解线性方程组，确定待定系数的解，再以此求得近似解（3-16）
3.2.2里兹法的缺点
增加点数不能使近似解越逼近真解，且如果曲线上有一点计算误差，就会传播而影响到全局，更重要的是要在全域内找到合适的基函数，尤其是对复杂的边界条
件是很困难的，所以其应用受到限制。配合使用有限元法才能赋予其新的生命力。 3.3加权剩余法
概念：是一种逼近微分方程解的数值方法
残值：表达式（3-23）具体含义是近似值与精确解之差
3.3.1 最小二乘法 残值的平方在域内的积分值最小作为条件，来求得未知参数而得到近似解。 3.3.2 加权剩余法
是指引入权衡个残值重要性的权函数，令残值在定义域内加权求和等于零作为衡量近似解逼近精确解的度量。其数学表达式为（3-30）。 3.4伽辽金法
实质：取权函数为逼近函数中基函数的加权剩余法，求（3-31）的极值问题，这种方法比其他方法更具有较高的精度。在微分算子线性、正定、对成功、自伴等条件下，伽辽金法与里兹法具有相同的表达式，但是伽辽金法比里兹法运用更加广泛，伽辽金法不需要微分方程中的微分算子线性、微分、正定、自伴，所以比里兹法有更广泛的适用性。 3.4.1 伽辽金方程与其缩写形式
伽辽金方程 P101(3-32) 缩写形式P101（3-35）
3.4.2伽辽金方程的强形式（一） P102（3-37）其中微分算子保持为二阶 3.4.3伽辽金方程的弱形式 1、弱形式的推导
第一步将强形式中的微分算子降阶
第二步将边界条件代入上一步的结果中的第一项
第三步将上一步的结果代入第一步的结果得弱形式（3-38） 弱形式的特点：
（1） 与强形式比较微分算子降了一阶，对所求未知数的连续性要求降低 （2） 自然边界包含在弱形式中，不以边界条件的形式出现 3.4.4 伽辽金方程的强形式（二）
这一形式也叫做含自然边界条件的强形式，推导见P103，结果为（3-39），为伽辽金强形式（二），总结三种形式：为降阶的为强形式，含有自然边界条件的为强形式（二），相对来说，弱形式对位分算子降阶，又自动满足边界条件，所以常用弱形式计算。
3.5 有限元法（FDM）
以上几节所讲述的是将微分方程转化为积分表达式来求解，但必须与有限元法结合，才能方便的求道数值解。
有限元法的实质是分段逼近，即将整个求解域划分为有限个子区域，构造分区的差值函数以逼近真解，其优点是：
1、 稳定性：各区的微小扰动不影响全局，计算误差限制在单元内
2、 准确性：小单元内即使采用线性的插值函数也可能满足精度，单元数增加则
精度提高。 3、 灵活性：在划分方法上和插值函数的选择上都可根据计算以及精度的要求来
决定。 3.5.1 里兹法基础上的有限元法 步骤：
1、 写出积分形式的方程，即将微分方程代入泛函数中，将其转换为积分形式
2、 剖分插值
3、 将得出的近似解代入积分方程
4、 求泛函数的极值，简化到求代数方程（3-49），即求Aij Fi 首先计算Aij ：也就是计算节点，分以下三种情况算内节点 1、 当i、j相重时， 算法见P110-111结果式（一） 2、 当i、j相邻时，见式（二） 3、 当i、j不相邻，Aij为零 边界节点：
（1） 当i、j相重时，见（3） （2） 当i、j相邻时，见（4） （3） 当i、j不相邻，Aij为零
计算Fi：内节点（5），边界节点（6）之后写成矩阵形式 该矩阵所代表方程组的特点是： （1） 为三对角带状矩阵
（2） 稀疏性由基函数分段逼近的特点而决定
（3） 正定，只要待求函数不全为零也就是ui不全为零，总有Aij大于零，系数矩阵对角项没有零值
3.5.2 伽辽金法基础上的有限元法 步骤：
1、 写出伽辽金的积分形式 2、 剖分（涉及到编号）：局部编号系统 整体编号系统
3、 插值（分段逼近），构造单元的局部插值函数，也就是基函数，其性质见
P115(3-57)
4、 单元分析，形成单元有限元方程，将单元局部插值函数以及单元虚速度的逼
近函数也就是u(e)以及δu(e)=φn(e)δun(e)代入伽辽金方程的弱形式得到局部有
限元方程式（3-60）Anm(e)um(e)=Fn(e) 将基函数代入系数矩阵（Anm(e)）以及自由项矢量（Fn(e)）
5、 总体合成，形成整体有限元方程，单元合成方法见P117 （3-63），其基本思
想是：在同一节点上有关单元合成，整体编号相同的单元合成，通过编号系统的转换总体合成，将Anm(e)um(e)=Fn(e)改为Aijuj=Fi该合成可以通过计算机完成：
先由单元节点数组IN(e,n) i，IN(e,m) j,找出行与列的转化规律，是完成Anm Aij um ui Fn Fi,然后将相同的Aij Fi 分别叠加
6、 为了简化计算，代入本质便金额条件以修改系数矩阵与自由项矢量。代入本
质边界条件的好处是可以使系数矩阵降阶，减少所占计算机容量，解方程方便。
代入本质边界条件的步骤：见P119 该步骤可以通过计算机完成 7、求得方程组的解得未知参数uj 有限元刚度矩阵的特点是：（P119） （1） 高阶和高稀疏性 （2） 对称正定性
（3） 带状分布的规则性
半带宽=（单元中最大节点序号-最小节点序号）max+1 压缩矩阵的转换方法见：P120 有限元法程序流程图见P120
3.6 插值函数（基函数的选取）
满足以下准则：
1、 满足相容性条件，如果伽辽金积分表达式和求极值的泛函中包含的最高阶导数为n，
则单元查汉字函数 及其导数在单元内部和交界面上要求n-1阶连续
2、 满足完备条件，即当单元尺寸无限缩小的时候，逼近函数及其积分表达式中的各阶
导数应该趋向于有限值。在单元逼近函数中必须包括满足这种条件的项，如果积分表达式中含有n阶导数，则取完全的n次多项式做插值函数可以满足完备性条件。 插值函数有拉格朗日插值多项式和哈密特多项式插值，单元坐标有直角坐标和无因次自然坐标，有对称和不对称之分，无因次自然坐标是一种局部坐标，其定义为：一维是长度比，二维是面积比，三维是体积比。 3.6.1 一维有限元插值函数
拉格朗日插值职能保证逼近函数本身连续
1、 线性插值
分为对称坐标和不对称坐标，总体的拉格朗日插值公式见P126（3-75） 2、 二次插值 3.6.2 二维有限元插值函数
采用拉格朗日插值，介绍不同单元形状的插值函数 1. 三角元 采用无因次坐标，表达式（3-78）、（3-79）、（3-80），说明两个坐标系就是
直角坐标和自然坐标的转换关系。 （1） 三角形单元线性插值
每条边上有两个节点极为线性插值，三角元线性插值的逼近函数可以直接由无因次坐标作为基函数P128（3-86），基函数具有以下性质（3-88）
（2） 三角元二次插值
为了提高精度，避免剖分太细，采用二次杀之函数，其基函数表达式见P129 (3-90) 3、 矩形单元
对复杂边界，最好用曲线元，曲线元以矩形元为基础，下面介绍矩形元的无因次坐
标的差值函数
（1） 各边线性变化的矩形元，插值函数表达式见P130 （3-91），也可以表达为
（3-92a），L1(1)为一维线元拉格朗日节点1的形状函数，式（3-71）可以写成（3-92b），就是所以的基函数都可以表达成（3-92a）的样子
（2） 双二次插值的矩形元 表达式（3-93），基函数表达式由P124和P125中的表达式决定 3、曲线四边形单元
先将曲线四边形变为矩形，再用矩形元差值函数，采用双线性变换，坐标变换表达式为（3-95）式中包含图形变换的基函数，接着砸自然坐标系上构造待求函数的逼近函数（3-96），最终图形变换的基函数与逼近函数的基函数是一致的，称这种任意四边形单元为等参单元。 3.6.3三维有限元插值函数
1、四面体三维差值函数是二维差值函数表达式（3-86）（3-90）的推广，具体为（3-101） 2、正六面体，八个节点，基函数表达式为P134 （3-102）、 3、正六面体20个节点，基函数表达式为（3-103）为（3-93）的推广 3.7 三角形单元局部有限元方程的转换
将逼近函数代入伽辽金形式的积分表达式中，结果为（3-105）（3-106）说明局部有限