， 故
为定值． ………………………………………………（12分）
【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 2．
【分析】（1）动点M到点F（0，1）的距离等于点M到直线y=﹣1的距离，根据抛物线的定义，可得结论；
（2）设P（t，﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2），可得PA的方程x1x﹣2y﹣2y1=0．PB的方程为x2x﹣2y﹣2y2=0，直线AB的方程为tx﹣2y+2=0，∴直线AB过定点F（0，1）．即可证明A、B、F三点共线；
（3）设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4）， 由
﹣y3）=μ（x4﹣t，y4+1）， λ+μ=
=
，代入
， 中得
，利用考查韦达定理即可求解．
，得（﹣x3，1﹣y3）=λ（x4，y4﹣1），（t﹣x3，﹣1
把PF的方程y=
【解答】解：（1）∵动点M到点F（0，1）的距离等于点M到直线y=﹣1的距离，
∴根据抛物线的定义，可得抛物线的焦点F（0，1）， ∴轨迹C的方程为x2=4y； （3分）
证明：（2）设P（t，﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则切线PA，PB的斜率分别k1=x1，k2=x2，
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∴PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），即x1x﹣2y﹣2y1=0．
同理PB的方程为x2x﹣2y﹣2y2=0， ∵切线PA，PB均过P（t，﹣1）， ∴tx1+2﹣2y1=0，tx2+2﹣2y2=0．
∴（x1，y1），（x2，y2）为方程tx﹣2y+2=0的两组解，
∴直线AB的方程为tx﹣2y+2=0，∴直线AB过定点F（0，1）． ∴A、B、F三点共线；
证明：（3）设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4）， 由
，得（﹣x3，1﹣y3）=λ（x4，y4﹣1），
（t﹣x3，﹣1﹣y3）=μ（x4﹣t，y4+1），
∴
∴λ+μ==，
，即y=
，
由题意直线PF的斜率的存在，故PF的方程为y﹣1=代入
中得，x3x4=﹣4
∴λ+μ==0，
故λ+μ为定值，定值为0．（12分）
【点评】本题考查轨迹方程，直线过定点问题，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题． 3．
【分析】（1）由题意得|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|MP|=4＞2=|MN|，根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M、N为焦点的椭圆，求出a，b，则轨迹方程可求；
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（2）由题意知S△ABD=2S△ABO=，设l方程为y=kx+1，联立方
程组得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出弦长|AB|和O到直线l的距离d，代入三角形的面积公式得出面积S关于k的函数，利用基本不等式得出面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意得|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|MP|=4＞2=|MN|， 根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M、N为焦点的椭圆， ∴a=2，c=1，∴b=∴轨迹方程为
． ；
（d为点O到直线l的距离），
（2）由题意知S△ABD=2S△ABO=
设l的方程为y=kx+1，联立方程组
，消去y得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则则
=
，， ，
又，
∴令∴
，
，由k2≥0，得t≥1，
，t≥1，易证y=
在（1，+∞）递增，
∴2t，则，
．
∴△ABD的面积S的最大值为
【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．
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4．
【分析】（1）直接把圆的一般式转化为标准式． （2）利用直线和圆的位置关系求出结果．
【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：则圆M的圆心坐标为：（
）．
．
（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D． 则：设直线的方程为：y=kx+2．
与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等， 则：AB=CD． 即：AM=DM． 设点D（x，0） 则：
整理得：x2﹣3x﹣4=0， 解得：x=4或﹣1（负值舍去）．
则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上， 解得：k=﹣
故直线的斜率为﹣．
故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．
，
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的转化，直线与圆的位置关系的应用． 5．
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【分析】（Ⅰ）设P（x，y），（y≠0），则，，由直线AP、BP
的斜率之积kAPkBP=﹣，能求出动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设C（x，y），D（x0，0），依题意|AD|=|CD|，从而|x0+2|=
+y2，
进而2（x+2）x0=x2+y2﹣4，由X（x，y）在椭圆上，能求出点D横坐标x0的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），（y≠0），则由kAP?kBP=﹣，得
?
=﹣，……（4分）
=1（y≠0）．……（5分）
，
，……（2分）
化简整理得，动点P的轨迹方程为
（Ⅱ）设C（x，y），D（x0，0），依题意|AD|=|CD|， 即|x0+2|=
+y2，……（7分）
平方并移项整理得，2（x+2）x0=x2+y2﹣4，……（8分） X（x，y）在椭圆上，∴分）
所以2（x+2）x0=
﹣1，
，……（11分）
，即点D横坐标x0的取值范围为（﹣，0）．……=1（y≠0），即
，且x≠±2．……（9
因为﹣2＜x＜2，所以﹣（12分）
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查动点的横坐标的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 6．
【分析】AB与x轴垂直时，点Q与点O重合，求得λ+μ=； 当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程， 与圆的方程联立消去一个未知数，利用根与系数的关系求得λ+μ的值．
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