第七节 二阶常系数线性微分方程
的解法?
在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。?
§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法?
设给定一常系数二阶线性齐次方程为?
dyd2y 2＋p＋qy＝0 (7.1)?
dxdx 其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。? 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，
dydy从方程的形式上来看，它的特点是2，，y各乘
dxdx以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，
2d2ydy其2，，y之间只相差一个常数因子，这样的函
dxdx数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数erx，符合上述要求，于是我们令? y＝e?
(其中r为待定常数)来试解?
rx
dyd2yrx2rx
将y＝e，＝re，2＝re代入方程(7.1)?
dxdx2rxrxrx
得 re＋pre＋qe＝0?
rx
或 erx（r2＋pr＋q）＝0? 因为erx≠0，故得? r＋pr＋q＝0? 由此可见，若r是二次方程?
r2＋pr＋q＝0 (7.2)? 的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。?
特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。?
(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r１，r2，此时e
r１x
2
，e是方程(7.1)的两个特解。?
r2x
er1x因为 r2x＝e(r1?r2)x≠常数?
e所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为? y＝C1e＋C2e?
(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r1＝r2，此时p2－4q＝0，即
?p有r1＝r2＝，这样只能得到方程(7.1)的一个特
2y2r１x
解y１＝e，因此，我们还要设法找出另一个满足≠
y1y2y2常数，的特解y2，故应是x的某个函数，设＝u，
y1y1r1x
r2x
其中u＝u(x)为待定函数，即? y2＝uy1＝uer１x??
对y2求一阶，二阶导数得?
dy2dur1xdur1x
＝e＋r１ue＝(＋r1u)er1x?
dxdxdx2dud2y2dur1x2
2＝(r１u＋2r1＋2)e?
dxdxdx将它们代入方程(7.1)得?
?
dudur1xdur1x
(r1u＋２r1＋2)e＋p(＋r1u)e＋
dxdxdxr1x
que＝0?
2
2或?
dud2u ［2＋(2r1＋p) ＋(r２１＋pr1＋q)u］er1x
dxdx＝0?
因为e≠0，且因r1是特征方程的根，故有r１＋
ppr１＋q＝0，又因r1＝－故有2r1＋p＝0，于是上式
2成为?
r1x
２
d2u 2＝0?
dxd2u显然满足2＝0的函数很多，我们取其中最简单
dx的一个? u(x)＝x?
则y2＝xerx?是方程(7.1)的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是? y＝C1e＋C2xe＝(C1＋C2x)e?
(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1＝α＋iβ，r2＝α－iβ? 此时方程(7.1)有两个特解? y1＝e(α＋iβ)x? y2＝e（α－iβ）x?? 则通解为? y＝C1e
（α＋iβ）xr1x
r1x
r1x
＋C2e
（α－iβ）x?
?
其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，
在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式?
eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx?
1有 (eix＋e－ix)＝cosx?
21 (eix－e－ix)＝sinx?
2i11αxiβx－iβxαx
(y1＋y２)＝e(e＋e?)＝ecosβx?
2211αxiβx－iβx
(y1－y2)＝e(e－e)＝eαxsinβx?
2i2i11由上节定理一知， (y1＋y2)， (y1－y2)是方程
2i2αxαx
(7.1)的两个特解，也即ecosβx，esinβx是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为?
y＝C1ecosβx＋C2esinβx? 或 y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)?
其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。?
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下?
αx
αx