2dyd2y特征方程r＋pr＋q＝0的微分方程2＋p＋qy根 dxdx＝0的通解 r1xr2x有二个不相等的实根r1，y＝C1e＋C2e r2 有二重根r1＝r2 y＝(C1＋C2x)er1x r1???i?y＝eαx(C1cosβx＋C2sin有一对共轭复根 r2???i?βx) 例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解?
dyd2y (1) 2＋3－１０y＝0?
dxdxdyd2y(2) 2－4＋4y＝0?
dxdxdyd2y(3) 2＋4＋7y＝0?
dxdx解 (1)特征方程r2＋3r－10＝0有两个不相等的实根?
r1＝－5，r2＝2?
所求方程的通解 y＝C1e?－5r?＋C2e?2x?? (2)特征方程r－4r＋4＝0，有两重根? r1＝r2＝2?
所求方程的通解y＝(C1＋C2x)e?2x?? (3)特征方程r2＋4r＋7＝0有一对共轭复根? r1＝－2＋3i r2＝－2－3i?
2
所求方程的通解 y＝e?
－2x
(C1cos3x＋C2sin3x)
§7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法?
由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程?
dyd2y 2＋p＋qy＝f(x) (7.3)?
dxdx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而 后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。?
方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。? 一、f(x)＝pn(x)eαx?，其中pn(x)是n次多项式，我们先讨论当α＝0时，即当? f(x)＝pn（x）时方程?
dyd2y 2＋p＋qy＝pn(x) (7.4)?
dxdx的一个特解。? (1)如果q≠0，我们总可以求得一n次多项式满足
此方程，事实上，可设特解?y＝Qn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an?，其中a0，a1，…an是待定常数，将y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，…an。?
~~d2ydy2
例1. 求2＋＋2y＝x－3的一个特解。?
dxdx2
解 自由项f(x)＝x－3是一个二次多项式，又q＝2≠0，则可设方程的特解为? y＝a0x2＋a1x＋a2? 求导数 ?y'＝2a0x＋a1? ?y\＝2a0?
代入方程有2a0x＋(2a0＋2a1)x＋（2a0＋a1＋2a２）＝x2－3比较同次幂系数?
?2a0?11? ?2a0?2a1?0 解得 a1??
2?2a?a?2a??3?0127a2??4~1217所以特解y＝x－x－
2242
~~~1a0?2(2)如果q＝0，而p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时y＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)次多项式所满足，此时我们可设? y＝xQn(x)＝a0xn＋1＋a1xn＋…＋anx?
代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a0，a1，…an。?
~~dyd2y例2. 求方程2＋4＝3x2＋2的一个特解。?
dxdx解 自由项 f(x)＝3x2＋2是一个二次多项式，又q＝0，p＝４≠0，故设特解 ? y＝a0x3＋a1x2＋a2x? 求导数 ?y'＝3a0x2＋2a1x＋a2? ?y\＝6a0x＋2a1? 代入方程得?
12a0x2＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数
~~~?12a0?33?? ?8a1?6a0?0 解得 a1???
16?2a?4a?2?1219a2?32~133219所求方程的特解 y＝x－x＋x?
41632d2y(3)如果p＝0，q＝0，则方程变为2＝pn(x)，此
dx时特解是一个(n＋2)次多项式，可设?
y＝x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积
~1a0?4分求得。?
下面讨论当α≠0时，即当f(x)＝pn(x)eαx时方程?
dydyαx
2＋p＋qy＝pn(x)e (7.5)?
dxdx的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子eαx，如果能通过变量代换将因子e去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设y＝ue，其中u＝u(x)是待定函数，对y＝ueαx，求导得?
dyαxdu＝e＋αueαx? dxdxαx
αx
2