§3.1 导数的概念及运算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景． 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x3，y＝，y＝x的导数． x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
考情考向分析 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.
1.平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)f?x0＋Δx?－f?x0?Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝，称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或
ΔxΔx[x0＋Δx，x0])的平均变化率. 2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝lim 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导ΔxΔx→0Δx
数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝lim →
Δx0
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝lim . ΔxΔx→0Δx
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3.函数f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x). 4.基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a>0，a≠1) y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝sin x y＝cos x
5.导数的四则运算法则 设f(x)，g(x)是可导的，则 (1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
f?x??g?x?f′?x?－f?x?g′?x?
′＝(g(x)≠0). ?g?x??g2?x?
y′＝f′(x) y′＝0 y′＝nxn1，n为正整数 －y′＝μxμ1，μ为有理数 －y′＝axln a 1y′＝ xln ay′＝cos x y′＝－sin x 概念方法微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．
2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (3)(2x)′＝x·2x1.( × )
－
题组二 教材改编
2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.
答案 2e
解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
2
3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为____________．
x＋2答案 2x－y＋1＝0
2
解析 ∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.
?x＋2?2∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. π?sin x5．若f(x)＝，则f′??2?＝________. x4答案 －2
π
xcos x－sin xπ?4
解析 ∵f′(x)＝，∴f′?＝－. 2?2?xπ26．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ． 答案 1
1
解析 ∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.
x
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)， ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
题型一 导数的计算
xx
1－2cos2?，则f′(x)＝ . 1．已知f(x)＝sin ?4?2?1
答案 －cos x
2
xx1
－cos ?＝－sin x， 解析 因为y＝sin ?2?2?2111
－sin x?′＝－(sin x)′＝－cos x. 所以y′＝??2?22cos x
2．已知y＝x，则y′＝________.
esin x＋cos x
答案 －
excos x??cos x?′e－cos x?e?′x解析 y′＝?′＝ ?e??ex?2sin x＋cos x
＝－.
ex3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ . 答案 1
1
解析 f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x，
x由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1. 4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝ . 答案 －4
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
2x＋1例1 (1)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
x＋1A．1 B．－1 C．2 D．－2
x
x
答案 A
2x＋12x－11
解析 由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－. xxx＋11
∴f′(x)＝2，∴f′(1)＝1.
x
由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ． 答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
??y0＝x0ln x0，∴由?解得x0＝1，y0＝0.
?y＋1＝?1＋ln x?x，?000
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 命题点2 求参数的值
例2 (1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝ . 答案 1
解析 由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a， 1＋a＋b＝3，??2
则?3×1＋a＝k，??k＋1＝3，
3
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
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(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切
22点为(1，f(1))，则m＝ . 答案 －2
1
解析 ∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
x又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
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则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x20＋mx0＋，m<0， 22∴m＝－2.
命题点3 导数与函数图象
例3 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该