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应用二重积分解决定积分问题
作者：寇冰煜 张燕 滕兴虎 毛磊 来源：《科技创新导报》2011年第21期
摘 要:在二重积分的计算中我们通常都是利用定积分的思想去解决问题,本文中笔者逆向思维,将结合具体实例介绍利用二重积分的计算去解决定积分中的问题。 关键词:二重积分的计算定积分的计算定积分的不等式
中图分类号:O155 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)07(c)-0131-01
二重积分的定义即对一个和式取极限,其思想“分割,近似,求和,取极限”沿用了定积分的定义中对和式去极限的思想,在二重积分的计算中将其化为累次积分进行计算的过程,本质上就是两个定积分的计算乘积的过程等等,这些我们都是采用定积分的思想去解决二重积分的问题。但是,本文作者则将二重积分做为工具去解决定积分中的计算和不等式问题。 1 利用二重积分解决定积分中的计算问题
在二重积分的计算中,我们通常采用的方法是化二重积分为累计积分进行计算,这一计算过程本质上是定积分的计算。但是,反过来我们可以利用二重积分去解决一些不易找到原函数的定积分的计算,下面我们就结合具体实例来看看二重积分在这些方面的应用。 1.1 利用二重积分计算瑕积分 例1:计算如下瑕积分.
[分析]在计算曲顶柱体体积时,利用“微元法”思想计算“平行截面面积为已知的立体体积” 因此,曲顶柱体体积
从而联想到,如果,即可将这一定积分问题转化为二重积分进行计算。 解:由于,所以所求积分 1.2 利用二重积分计算广义积分 例2:计算如下广义积分.
[分析]要计算该广义积分,即计算,记,则 从而,将问题转化为计算,而
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其中,进而将问题转化为计算二重积分. 解:令,则: ,所以 而, 同理可计算 所以. 从而
所以,根据两边夹法则可以得到: 因此,所求积分.
2 利用二重积分解决定积分中的不等式问题
数学中的证明题目,往往不易寻找证题规律。定积分中的不等式的证明问题更是如此,但是这类题型往往对于概念、命题、定理、性质的理解有着极大的帮助。下面我们就从实例出发,利用二重积分做为工具去解决定积分中的不等式证明问题。 例3:若在闭区间上连续,且,试证明如下不等式:.
[分析]由于积分结果与积分变量的形式无关,因此不等式左端 其中,从而将这一证明问题转化为二重积分的计算问题。 解:由于 同理,也有.
因此,,又由于在闭区间上,所以,所以 即.
本文通过实例展现了二重积分在计算中的应用魅力,不仅可以帮助学生进一步加深对重积分概念的理解,同时有助于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力,从而提高学生分析问题和解决问题的能力。